Ableitung und Änderungsrate

Die Ableitung einer Funktion $f$ ist eine Funktion $f'$, die man mit den Ableitungsregeln erhält und entspricht der Tangentensteigung von $f$ an der Stelle $x$.
Die Ableitung von $f'$ nennt man zweite Ableitung $f''$ und so fort.

Beschreibt $f(t)$ einen physikalischen Prozess in Abhängigkeit von der Zeit $t$, dann wird $f'(t)$ auch momentane Änderungsrate oder Änderungsgeschwindigkeit von $f(t)$ genannt. Diese gibt an, wie schnell sich die beschriebene Größe zum Zeitpunkt $t$ pro Zeiteinheit verändert.

Beziehungen zwischen Funktion und Ableitung

Funktion $f$Ableitung $f'$
wachsendpositiv
fallendnegativ
Hochpunkt (wachsend $\to$ fallend)Nullstelle (positiv $\to$ negativ)
Tiefpunkt (fallend $\to$ wachsend)Nullstelle (negativ $\to$ positiv)
Linkskurvewachsend
Rechtskurvefallend
Wendepunkt (Linkskurve $\to$ Rechtskurve)Hochpunkt (wachsend $\to$ fallend)
Wendepunkt (Rechtskurve $\to$ Linkskurve)Tiefpunkt (fallend $\to$ wachsend)

Regeln zur Berechnung der Ableitung

$f(x)$$f'(x)$
Konstante Funktion$a$$0$
Potenzfunktion$x^n$$n\cdot x^{n-1}$
Exponentialfunktion$e^x$$e^x$
Logarithmusfunktion$\ln x$$\frac{1}{x}$
Sinusfunktion$\sin x$$\cos x$
Cosinusfunktion$\cos x$$-\sin x$
Faktorregel$k\cdot g(x)$$k\cdot g'(x)$
Summenregel$g(x)+h(x)$$g'(x)+h'(x)$
Kettenregel$g(h(x))$$g'(h(x))\cdot h'(x)$
Produktregel$g(x)\cdot h(x)$$g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
Quotientenregel$\frac{g(x)}{h(x)}$$\frac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}$

Beispiele

  1. $f(x)=7$
    $f'(x)=0$
  2. $f(x)=x^8$
    $f'(x)=8x^7$
  3. $f(x)=5x^4$
    $f'(x)=20x^3$
  4. $f(x)=4x^3-3x^2+x-1$
    $f'(x)=12x^2-6x+1$
  5. $f(x)=-\frac{2}{5x^4}$
    Umschreiben ergibt $f(x)=-\frac{2}{5}x^{-4}$ und damit
    $f'(x)=-\frac{2}{5}\cdot(-4)\cdot x^{-5}=\frac{8}{5x^5}$
  6. $f(x)=3\sqrt[3]{x^5}$
    Wir schreiben die Funktion als Potenz mit $f(x)=3x^{\frac{5}{3}}$.
    Damit ergibt sich
    $f'(x)=3\cdot \frac{5}{3}\cdot x^{\frac{2}{3}}=5\sqrt[3]{x^2}$
  7. $f(x)=(3x^2-5x)^{10}$
    Es gilt $f(x)=g(h(x))$
    mit $g(x)=x^{10}$ und $h(x)=3x^2-5x$.
    Mit $g'(x)=10x^9$ und $h'(x)=6x-5$ erhalten wir
    $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=10(3x^2-5x)^9\cdot(6x-5)$
  8. $f(x)=e^{x^2+4x+2}$
    Es gilt $f(x)=g(h(x))$
    mit $g(x)=e^x$ und $h(x)=x^2+4x+2$.
    Mit $g'(x)=e^x$ und $h'(x)=2x+4$ folgt
    $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=e^{x^2+4x+2}\cdot (2x+4)$
  9. $f(x)=x^2 \sin(x)$
    Es gilt $f(x)=g(x)\cdot h(x)$
    mit $g(x)=x^2$ und $h(x)=\sin(x)$.
    Aus $g'(x)=2x$ und $h'(x)=\cos(x)$ erhalten wir
    $f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=2x\sin(x)+x^2\cos(x)$
  10. $f(x)=3x^2e^{2-x}$
    Es gilt $f(x)=g(x)\cdot h(x)$
    mit $g(x)=3x^2$ und $h(x)=e^{2-x}$.
    Aus $g'(x)=6x$ und $h'(x)=-e^{2-x}$ (s. Kettenregel) folgt
    $f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=6xe^{2-x}-3x^2e^{2-x}=(6x-3x^2) e^{2-x}$
  11. $f(x)=(-2x^2+3)e^{-2x+1}$
    Es gilt $f(x)=g(x)\cdot h(x)$
    mit $g(x)=-2x^2+3$ und $h(x)=e^{-2x+1}$.
    Mit $g'(x)=-4x$ und $h'(x)=-2e^{-2x+1}$ (s. Kettenregel) ergibt sich
    $f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=-4xe^{-2x+1}+(-2x^2+3)\cdot (-2 e^{-2x+1})$
    Ausklammern von $e^{-2x+1}$ ergibt
    $f'(x)=(4x^2-4x-6)e^{-2x+1}$
  12. $f(x)=e^{x\sin(x)}$
    Es gilt $f(x)=g(h(x))$
    mit $g(x)=e^x$ und $h(x)=x\sin(x)$.
    Aus $g'(x)=e^x$ und $h'(x)=\sin(x)-x\cos(x)$ (s. Produktregel) folgt
    $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=e^{x\sin(x)}(\sin(x)-x\cos(x))$
  13. $f(x)=\ln e^x$
    Es gilt $f(x)=g(h(x))$
    mit $g(x)=\ln x$ und $h(x)=e^x$.
    Mit $g'(x)=\frac{1}{x}$ und $h'(x)=e^x$ erhalten wir
    $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)=\frac{1}{e^x}\cdot e^x=1$
    (was ja wegen $f(x)=\ln e^x = x$ auch kein Wunder ist)
  14. $f(x)=\frac{3x}{(1-5x)^2}$
    Es gilt $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$
    mit $g(x)=3x$ und $h(x)=(1-5x)^2$.
    Aus $g'(x)=3$ und $h'(x)=-10(1-5x)$ folgt mit der Quotientenregel
    $\begin{align} f'(x) & = \frac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2} \\ & = \frac{3(1-5x)^2-3x\cdot(-10)(1-5x)}{(1-5x)^4}\\ & = (1-5x)\cdot\frac{3(1-5x)-3x\cdot(-10)}{(1-5x)^4}\\ & = \frac{3(1-5x)-3x\cdot(-10)}{(1-5x)^3}\\ & = \frac{15x+3}{(1-5x)^3} \end{align}$