Asymptoten

Senkrechte Asymptoten

Eine Funktion $f$ hat eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x=x_0$, wenn die Funktionswerte $f(x)$ bei Annäherung von $x$ gegen $x_0$ betragsmäßig beliebig groß oder beliebig klein werden: Für $x\to x_0$ gilt $f(x)\to \infty$ oder $f(x)\to -\infty$

  • Gebrochenrationale Funktionen
    Jede Gebrochenrationale Funktion hat an einer Definitionslücke (Nullstelle des Nenners) $x_0$ eine senkrechte Asymptote, falls $x_0$ keine Nullstelle des Zählers ist.
  • Logarithmusfunktion
    Die Logarithmusfunktion $f(x)=\ln{x}$ hat die senkrechte Asymptote $x=0$, also die $y$-Achse. Allgemeiner hat die Verkettung $f(x)=\ln(g(x))$ an jeder Nullstelle von $g(x)$ eine senkrechte Asymptote.

Waagrechte Asymptoten

Eine Funktion $f$ hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung $y=y_0$, wenn sich die Funktionswerte $f(x)$ bei betragsmäßig beliebig groß oder beliebig klein werdenden $x$-Werten an $y_0$ annähern: Für $x\to \infty$ oder $x\to -\infty$ gilt $f(x)\to y_0$

  • Gebrochenrationale Funktionen
    Ist der Grad des Nenners größer als der Grad des Zählers, dann nähert sich $f(x)$ für $x\to +\infty$ und $x\to -\infty$ dem Wert 0. Die Gerade $y=0$ ($x$-Achse) ist also waagrechte Asymptote.
    Ist der Grad des Nenners gleich groß wie der Grad des Zählers, dann nähert sich $f(x)$ für $x\to \pm\infty$ dem Wert $\frac{a}{b}$, wobei $a$ der Zahlenfaktor vor der größten Potenz im Zähler und $b$ vor der größten Potenz im Nenner ist. In diesem Fall ist also die Gerade $y=\frac{a}{b}$ (parallel zur $x$-Achse) waagrechte Asymptote.
  • Die Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ nähert sich für $x\to -\infty$ wegen $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$ dem Wert 0. Damit lässt sich allgemein feststellen, dass Funktionen von der Form $f(x)=g(x)\cdot e^{h(x)}+a$ (mit Ganzrationalen Funktionen $g$ und $h$) für $h(x)\to -\infty$ dem Grenzwert $a$ nähern, und somit die waagrechte Asymptote $y=a$ besitzen.

Beispiele

  1. Die beiden Definitionslücken von $f(x)=\frac{x+1}{x^2-2}$ sind $\sqrt2$ und $-\sqrt2$. Beide sind keine Nullstellen des Zählers $x+1$ und deshalb sind $x=\sqrt2$ und $x=-\sqrt2$ die senkrechten Asymptoten der Funktion.
  2. Die Funktion $f(x) = \ln(1-x^2)$ hat die Nullstellen von $1-x^2$, also $x=1$ und $x=-1$ als senkrechte Asymptoten.
  3. $f(x)=\frac{3x^2-x}{-4x^3+1}$ hat für $x\to \pm \infty$ die waagrechte Asymptote $y=0$, da der Nennergrad 3 größer als der Zählergrad 2 ist.
  4. $f(x)=\frac{3x^2-x}{-4x^2+1}$ hat für $x\to \pm \infty$ die waagrechte Asymptote $y=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$.
  5. $f(x)=x e^{2x+1}$ hat für $x\to -\infty$ die waagrechte Asymptote $y=0$.
  6. $f(x)=(5x^2+2x) e^{-2x+1}-4$ hat für $x\to +\infty$ die waagrechte Asymptote $y=-4$.
  7. $f(x)=7+2x e^{1-x}$ hat für $x\to +\infty$ die waagrechte Asymptote $y=7$.