Berührpunkte von Funktionen

Zwei Funktionen $f$ und $g$ haben einen Berührpunkt an der Stelle $x$, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

$\begin{align} f(x)& =g(x) \\ f'(x)& = g'(x) \end{align}$

Man löst dabei zuerst die einfachere der beiden Gleichungen nach $x$ auf und und prüft durch Einsetzen, ob mit den erhaltenen Lösungen auch die andere Gleichung erfüllt ist.

Beispiel

Gesucht ist der Berührpunkt von $f(x)=2e^{x-3}$ und $g(x)=2x-4$.
Die Gleichung $f'(x)=g'(x) \Leftrightarrow 2e^{x-3}=2$ hat die Lösung $x=3$. Damit ist auch die andere Bedingung erfüllt, es gilt nämlich $f(3)=2e^0=2$ und $g(3)=2\cdot 3-4=2$. $B(3|2)$ ist also ein Berührpunkt der Funktionen $f$ und $g$.