Ebenen

Zur Beschreibung von Ebenen gibt es die Parameterform, die Normalenform und die Koordinatenform. Da das Rechnen mit Ebenen mit der Koordinatenform am einfachsten ist, wandelt man dazu gegebenenfalls die Parameter- bzw. Normalenform in die Koordinatenform um.

Parameterform

Bei der Parameterdarstellung ist eine Ebene durch einen Punkt und zwei Richtungen in der Ebene festgelegt:

$\vec{x}=\vec{p}+s\cdot \vec{r_1}+t\cdot\vec{r_2} $

Dabei ist der Stützvektor $\vec{p}$ der Ortsvektor zu einem Punkt $P$ der Ebene. Die Vektoren $\vec{r_1}$ und $\vec{r_2}$ zeigen zwei Richtungen der Ebene an und und heißen deshalb Richtungs- oder Spannvektoren.
Für jeden Wert der Parameter $s$ und $t$ ergibt sich so ein anderer Ortsvektor $\vec{x}$ eines Ebenenpunkts, so dass für alle Werte von $s$ und $t$ alle Punkte der Ebene durchlaufen werden.

Normalenform

Bei der Normalenform wird eine Ebene wird durch einen Punkt $P$ und eine zur Ebene senkrechte Richtung definiert:

$(\vec{x}-\vec{p})\bullet \vec{n}=0$

Dabei ist der Stützvektor $\vec{p}$ der Ortsvektor zu einem Punkt $P$ der Ebene. Der Vektor $\vec{n}$ zeigt die zur Ebene orthogonale Richtung an und heißt Normalevektor der Ebene.
Für einen beliebigen Punkt $X$ in der Ebene entspricht der Vektor $\vec{PX}=\vec{x}-\vec{p}$ einer Richtung der Ebene. Da der der Normalenvektor $\vec{n}$ orthogonal zur Ebene ist, ist er somit auch zu $\vec{x}-\vec{p}$ orthogonal, deshalb ergibt das Skalarprodukt $(\vec{x}-\vec{p})\bullet \vec{n}$ den Wert 0.

Koordinatenform

Bei der Koordinatenform wird eine Ebene durch eine Gleichung definiert, welche für die Koordinaten $x_1$, $x_2$, $x_3$ eines beliebigenEbenenpunktes gilt:

$ax_1+bx_2+cx_3=d$

Der Vektor $\vec{n}=\left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\end{array}\right)$ ist orthogonal zur Ebene und wird Normalenvektor genannt.

Die Zahl $d$ ergibt sich durch Einsetzen eines beliebigen Ebenenpunktes $P$ für $x_1$, $x_2$, $x_3$ in die linke Seite der Koordinatenform.

Die Koordinatenform ergibt sich direkt aus der Normalenform, indem man die Vektoren koordinatenweise darstellt:
$\left(\left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} p_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right) \right)\bullet \left(\begin{array}{r} a\\ b\\ c\end{array}\right)=0$
$ax_1+bx_2+cx_3=ap_1+bp_2+cp_3$

Beispiele

  1. Bestimmung der Parameterform einer Ebene aus drei Punkten.
    Durch die Punkte $A(1|-1|1),\,B(-1|2|2),\,C(2|0|1)$ ist eine Ebene festgelegt.
    Mit $\vec{a}$ als Stützvektor und den Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ erhalten wir
    $\vec{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\end{array}\right) +s\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 3\\ 1\end{array}\right) +t\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
  2. Umwandlung der Parameterform in die Koordinatenform.
    Gegeben ist die Parameterform $\vec{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\end{array}\right) +s\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 3\\ 1\end{array}\right) +t\cdot \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
    Der Normalenvektor der Ebene ist orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren, deshalb lässt er sich durch ihr Vektorprodukt bestimmen:
    $\left(\begin{array}{r} -2\\ 3\\ 1\end{array}\right) \bigotimes \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\\ -5\end{array}\right)$
    Daraus ergibt sich $2x_1+3x_2-5x_3=d$ und durch Einsetzen des Stützvektors:
    $-2x_1+3x_2+x_3=-6$.
  3. Umwandlung der Normalenform in die Koordinatenform.
    Gegeben ist de Normalenform $\left( \vec{x}-\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 5\end{array}\right)\right)\bullet \left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 4\end{array}\right)=0$.
    Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der Koordinatenform ergeben sich aus dem Normalenvektor. Die Zahl $d$ ergibt sich durch Einsetzen des Stützvektors $\vec{p}$:
    $3x_1+x_2+4x_3=3\cdot 1+0+4\cdot 5$
    $3x_1+x_2+4x_3=23$
  4. Bestimmung einer Ebene durch einen Punkt und eine orthogonalen Gerade.
    Gegeben sind ein Punkt und eine Gerade:
    $P(1|4|-1)$; $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ -1\end{array}\right) +t\cdot \left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 3\end{array}\right)$
    Wir bestimmen die Ebene, die $P$ enthält und orthogonal zu $g$ ist.
    Der Richtungsvektor kann als Normalenvektor verwendet werden: $2x_1+2x_2+3x_3=d$; Einsetzen von $P$ ergibt dann $d=7$ und damit die Koordinatengleichung
    $2x_1+2x_2+3x_3=7$.
  5. Bestimmung der Koordinatenform einer Ebene aus drei Punkten.
    Gegeben sind die Punkte $A(1|1|2)$, $B(-1|0|1)$ und $C(2|1|4)$.
    Der Normalenvektor der Ebene ist orthogonal zu den Verbindungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$, deshalb lässt er sich durch das Vektorprodukt bestimmen:
    $\vec{AB}\bigotimes \vec{AC}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$
    Daraus ergibt sich $-2x_1+3x_2+x_3=d$ und durch Einsetzen von $A$, $B$ oder $C$:
    $-2x_1+3x_2+x_3=3$.