Extrempunkte

Extrempunkte einer Funktion sind Punkte, in denen sie ihr Monotonieverhalten ändert, also vorher monoton wächst und danach fällt (Hochpunkt), oder umgekehrt (Tiefpunkt).

Beispiele

  1. Wir untersuchen $f(x)=-x^2+4x-1$ auf Extrempunkte.
    Es gilt $f'(x)=-2x+4$ und $f''(x)=-2$.
    Aus $-2x+4=0$ folgt $x=2$. Mit $f''(2)=-2<0$ und $f(2)=3$ ergibt sich der Hochpunkt $H(2|3)$.
  2. $f(x)=x^4 +4x^3$
    Es gilt $f'(x)=4x^3+12x^2$ und $f''(x)=12x^2+24x$.
    Aus $4x^3+12x^2=0$ folgt $x=0$ und $x=-3$.
    Für $x=0$ wenden wir wegen $f''(0)=0$ die zweite Methode an. Diese ergibt wegen $f'(-1)=8$ und $f'(1)=16$ keinen Extrempunkt.
    Für $x=-3$ ergibt sich wegen $f''(-3)=36>0$ und $f(-3)=-27$ der Tiefpunkt $T(-3|-27)$.
  3. $f(x)=-1-e^{-x}$
    Die Gleichung $f'(x)=0\Leftrightarrow e^{-x}=0$ hat keine Lösungen, es gibt also keine Extrempunkte.