Funktionen

Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnungsvorschrift in Form einer Gleichung, die einer Zahl $x$ einen Funktionswert $f(x)$ zuordnet. Die Menge der Ausgangswerte $x$ heißt Definitionsmenge $D_f$, und die Menge der Funktionswerte heißt Wertemenge $W_f$. Stellt man sich jedes Zuordnungspaar $(x|f(x))$ als Punkt in einem Koordinatensystem vor, dann bilden alle solchen Punkte eine Kurve, die Schaubild oder Graph von $f$ genannt wird.

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen haben die Form

$f(x)=a\cdot x^n$

Dabei ist a eine beliebige reele Zahl und n eine natürliche Zahl.
Potenzfunktionen haben als Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen.
Das Verhalten für $x\to\pm\infty$ hängt wie folgt von $a$ und $n$ ab:

  • $a >0$ und $n$ gerade: $x\to +\infty\Rightarrow f(x)\to +\infty$ und $x\to -\infty\Rightarrow f(x)\to +\infty$
  • $a <0$ und $n$ gerade: $x\to +\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty$ und $x\to -\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty$
  • $a >0$ und $n$ ungerade: $x\to +\infty\Rightarrow f(x)\to +\infty$ und $x\to -\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty$
  • $a <0$ und $n$ ungerade: $x\to +\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty$ und $x\to -\infty\Rightarrow f(x)\to +\infty$

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen sind Summen von Potenzfunktionen haben die allgemeine Form

$ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 $

Ganzrationale Funktionen haben als Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen.
Die größte Potenz $n$ nennt man den Grad der Ganzrationalen Funktion.
Das Verhalten für $x\to\pm\infty$ ist bestimmt durch die Potenzfunktion der Ganzrationalen Funktion mit der größten Potenz.

Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen sind Brüche aus Ganzrationalen Funktionen $g$ und $h$:

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

Die Definitionsmenge besteht aus den reellen Zahlen ohne die Nullstellen von $h$.

Exponentialfunktion

$f(x)= e^{x}$

Dabei steht $e=2.7182...$ für die Eulersche Zahl. Es gilt $D_f=\mathbb{R}$, und $W_f=\mathbb{R}^+$. Die Funktion liegt über der $x$-Achse und schneidet die $y$-Achse im $y$-Wert 1. Sie steigt auf der positiven $x$-Achse immer steiler an. Auf der negativen $x$-Achse nähern sich die Funktionswerte an Null an, so dass die Funktion dort der $x$-Achse beliebig nahe kommt.

Logarithmusfunktion

$f(x)=\ln x$

Es gilt $D_f=\mathbb{R}^+$ und $W_f=\mathbb{R}$. Das Schaubild entsteht durch Spiegelung der Exponentialfunktion an der Ersten Winkelhalbierenden mit der Gleichung $y=x$

Trigonometrische Funktionen

$f(x)=\sin x\quad\text{bzw.}\quad f(x)=\cos x$

Diese Funktionen haben die Definitionsmenge $D=\mathbb{R}$ und die Wertemenge $W=[-1;1]$. Sie sind periodische Funktionen mit der Periode $2\pi$. Das bedeutet, es gilt $f(x+2\pi)=f(x)$ für jeden beliebigen $x$-Wert. Die Sinusfunktion verläuft wellenförmig durch die Punkte $(0|0)$, $(\frac{1}{2}\pi|1)$, $(\pi|0)$, $(\frac{3}{2}\pi|-1)$, $(2\pi|0)$. Wegen der Periodizität wiederholt sich dieser Verlauf links und rechts davon. Die Cosinusfunktion entsteht durch Verschiebung der Sinusfunktion um $\frac{1}{2}\pi$ nach links, und geht durch die Punkte $(0|1)$, $(\frac{1}{2}\pi|0)$, $(\pi|-1)$, $(\frac{3}{2}\pi|0)$, $(2\pi|1)$.

Beispiele

  1. Für $f(x)=-2x^4$ gilt $x\to +\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty$ und $x\to -\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty$
  2. Für $f(x)=\frac25 x^5$ gilt $x\to +\infty\Rightarrow f(x)\to +\infty$ und $x\to -\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty$
  3. Die Funktion $f(x)=(x^2-x-2)(x-3)$ kann durch Ausmultiplizieren der Klammern auf die Form $f(x)=x^3-4x^2+x+6$ gebracht werden und ist deshalb eine Ganzrationale Funktion vom Grad $n=3$ mit $a_3=1$, $a_2=-4$, $a_1=1$ und $a_0=6$.
  4. Das Verhalten von $f(x)=-\frac14 x^5 +10x^4-2x+7$ für $x\to\pm\infty$ ist durch $-\frac14 x^5$ bestimmt, es gilt: $x\to +\infty\Rightarrow f(x)\to -\infty$ und $x\to -\infty\Rightarrow f(x)\to +\infty$
  5. Für die Definitionsmenge $D$ der Gebrochenrationalen Funktion $f(x)=\frac{-3x+1}{x(6-5x)}$ gilt $D=\mathbb{R}\setminus\{0;\frac{6}{5}\}$. Das sind alle reellen Zahlen mit Ausnahme von $x=0$ und $x=\frac{6}{5}$.