Funktionenscharen

Funktionenscharen sind Funktionen, mit einem Parameter wie z.B. $t$. Durch Einsetzen verschiedener Werte für $t$ bekommt man dann verschiedene Funktionen der Schar. Alle Berechnungen mit Funktionen können auch bei einer Funktionenschar durchgeführt werden, nur enthalten die Ergebnisse dann eben meistens den Parameter $t$.

Ortskurven

Erhält man bei einer Funktionenschar beispielsweise einen Hochpunkt $H(x(t)|y(t))$, der $t$ enthält, dann ergibt sich daraus für jeden Wert von $t$ ein konkreter Hochpunkt. Alle diese Punkte liegen wieder auf einer Kurve, genannt Ortskurve (dieser Hochpunkte). Um ihre Funktionsgleichung zu bestimmen, wird die Gleichung $x=x(t)$ nach $t$ aufgelöst, und dieses $t$ in die Gleichung $y=y(t)$ eingesetzt.

Gemeinsame Punkte

Ein gemeinsamer Punkt einer Funktionenschar $f_t$ ist ein Punkt, durch den alle Funktionen der Schar gehen. Um gemeinsame Punkte zu bestimmen, wählt man zwei Werte $t_1$ und $t_2$ und bestimmt den Schnittpunkt $S$ von $f_{t_1}(x)$ und $f_{t_2}(x)$. Falls es einen Schnittpunkt gibt, werden die Koordinaten von $S$ in die Funktionsgleichung von $f_t(x)$ eingesetzt. $S$ ist genau dann ein gemeinsamer Punkt, wenn sich dabei eine von $t$ unabhängige wahre Aussage ergibt.

Beispiele

  1. Die Funktionenschar $f_t(x)=-x^2+tx+t$ hat den Hochpunkt $H(\frac{1}{2}t|\frac{1}{4}t^2+t)$, dessen Ortskurve wir berechnen.
    Die Gleichung $x=\frac{1}{2}t$ ergibt $t=2x$. Setzt man das in die Gleichung $y=\frac{1}{4}t^2+t$ ein, so folgt für die Ortskurve
    $y=x^2+2x$.
  2. Wir untersuchen die Schar $f_t(x) =tx^3 + (1 − 2t)x^2 + 3x − 6$ auf gemeinsame Punkte.
    Wir wählen z.B. $t_1=0$ und $t_2=1$ und erhalten aus der Schnittpunktbedingung $f_0(x)=f_1(x)$ die Schnittpunkte $S_1(0|-6)$ und $S_2(2|4)$. Die Punktproben von $S_1$ und $S_2$ mit $f_t(x)$ ergeben die von $t$ unabhängigen wahren Aussagen $-6=-6$ bzw. $4=4$. Somit sind $S_1$ und $S_2$ gemeinsame Punkte, durch die alle Funktionen der Schar verlaufen.