Bestimmung von Funktionen

Für einen allgemeinen Ansatz einer Funktion mit unbestimmten Parametern $a, b, c,...$ soll die Funktionsgleichung bestimmt werden. Dazu stellt man für jede gegebene Eigenschaft der Funktion eine Gleichung für die Parameter auf. Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt dann die gesuchte Funktionsgleichung.

Ansatz

Ganzrationale Funktionen mit Symmetrie zur $y$-Achse haben nur gerade Hochzahlen, Ganzrationale Funktionen mit Symmetrie zum Ursprung nur ungerade.

  • Ganzrationale Funktion 2. Grades:
    $f(x)=ax^2+bx+c$
    $f'(x)=2ax+b$
    $f''(x)=2a$
  • Ganzrationale Funktion 3. Grades:
    $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
    $f'(x)=3ax^2+2bx+c$
    $f''(x)=6ax+2b$
  • Achsensymmetrische Ganzrationale Funktion 4. Grades:
    $f(x)=ax^4+bx^2+c$
    $f'(x)=4ax^3+2bx$
    $f''(x)=12ax^2+2b$
  • Punktsymmetrische Ganzrationale Funktion 5. Grades:
    $f(x)=ax^5+bx^3+cx$
    $f'(x)=5ax^4 +3bx^2+c$
    $f''(x)=20ax^3+6bx$

Aufstellen von Gleichungen

Bedingung für $f$Gleichung
$f$ geht durch den Punkt $P(x_0|y_0)$$f(x_0)=y_0$
$f$ hat den Extrempunkt $E(x_0|y_0)$ $f(x_0)=y_0$
$f'(x_0)=0$
$f$ hat den Wendepunkt $W(x_0|y_0)$$f(x_0)=y_0$
$f''(x_0)=0$
$f$ hat bei $x_0$ die Steigung $m$$f'(x_0)=m$
$f$ hat bei $x_0$ Tangente parallel zu $y=mx+b$$f'(x_0)=m$
$f$ hat bei $x_0$ die Tangente $y=mx+b$$f'(x_0)=m$
$f(x_0)=mx_0+b$
$f$ hat bei $x_0$ die Wendetangente $y=mx+b$$f'(x_0)=m$
$f(x_0)=mx_0+b$
$f''(x_0)=0$
$f$ hat bei $x_0$ Normale mit der Steigung m$f'(x_0)\cdot m=-1$
$f$ hat bei $x_0$ Normale parallel zu $y=mx+b$$f'(x_0)\cdot m=-1$
$f$ hat bei $x_0$ die Normale $y=mx+b$$f'(x_0)\cdot m=-1$
$f(x_0)=mx_0+b$
$f$ schneidet $g$ bei $x_0$$f(x_0)=g(x_0)$
$f$ berührt $g$ bei $x_0$$f(x_0)=g(x_0)$
$f'(x_0)=g'(x_0)$

Beispiele

  1. Wir bestimmen die zur $y$-Achse symmetrische Funktion vierten Grades mit dem Tiefpunkt $T(1|2)$, die an der Stelle 2 die Steigung 24 hat.
    Ansatz:
    $f(x)=ax^4+bx^2+c$
    $f'(x)=4ax^3+2bx$.
    Gleichungen:
    $f(1)=2 \Leftrightarrow a+b+c=2$
    $f'(1)=0 \Leftrightarrow 4a+2b=0$
    $f'(2)=24 \Leftrightarrow 32a+4b=24$.
    Die Lösung des Gleichungssystems ist $a=1$, $b=-2$ und $c=3$. Damit ergibt sich die Lösung $f(x)=x^4-2x^2+3$.
  2. Eine Funktion zweiten Grades geht durch den Punkt $P(-2|3)$ und hat an der Stelle $x=1$ die Tangente mit der Gleichung $y=4x+2$. Gesucht ist die Gleichung dieser Parabel.
    Ansatz:
    $f(x)=ax^2+bx+c$
    $f'(x)=2ax+b$.
    Gleichungen:
    $f(-2)=3 \Leftrightarrow 4a-2b+c=3$
    $f'(1)=4 \Leftrightarrow 2a+b=4$
    $f(1)=4\cdot1+2 \Leftrightarrow a+b+c=6 $.
    Das Gleichungssystem hat die Lösung $a=1$, $b=2$ und $c=3$ und die gesuchte Funktion hat die Gleichung
    $f(x)=x^2+2x+3$