Glücksspiele

Ein Glücksspiel kann in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als Zufallsexperiment mit einer Zufallsvariable $X$ für die Gewinne und Verluste beschrieben werden. Positive Werte von $X$ bedeuten dabei einen Gewinn für das jeweilige Spielresultat, negative Werte von $X$ einen Verlust.
Mit dem Erwartungswert lässt sich berechnen, ob ein Glücksspiel fair ist. In diesem Fall ist bei dem Spiel auf lange Sicht im Durchschnitt weder ein Gewinn noch ein Verlust zu erwarten.

Ist $X$ die Zufallsvariable für die Gewinne und Verluste eines Spieles, dann heißt das Spiel fair wenn der Erwartungswert Null ergibt: $E(X)=0$

Beispiel

Ein Glücksrad zeigt die Farbe Blau mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ und die Farbe Rot mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{4}$. Bei einem Spiel zahlt man 2 Euro als Einsatz und das Rad wird zweimal gedreht. Ergibt sich zweimal Blau, erhält man 10 Euro, bei zweimal Rot 2 Euro, ansonsten wird nichts ausbezahlt. Wir untersuchen, ob es sich um ein faires Spiel handelt
$X$ sei die Zufallsvariable für den Gewinn und Verlust bei diesem Spiel, also für die Auszahlung abzüglich dem Einsatz. Die Werte von $X$ sind -2, 0 und 8 Euro und für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ gilt:
$P(X=-2)=P(\{(r;b),(b;r)\})=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{16}$
$P(X=0)=P(\{(r;r)\})=\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$
$P(X=8)=P(\{(b;b)\})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
Für den Erwartungswert ergibt sich
$E(X)=-2\cdot \frac{6}{16}+0\cdot \frac{9}{16}+8\cdot \frac{1}{16}=-0,25$
Das Spiel ist also nicht fair, man verliert pro Spiel durchschnittlich 0,25 Euro.
Wir wollen nun noch den Auszahlungsbetrag $a$ für zweimal Blau ermitteln, bei dem das Spiel fair ist. Für den Erwartungswert gilt dann
$E(X)=-2\cdot \frac{6}{16}+0\cdot \frac{9}{16}+(a-2)\cdot \frac{1}{16}=0$
Das ergibt den Auszahlungsbetrag von $a=14$ Euro, bei dem das Spiel fair ist.