Gleichungen

Gleichungen werden gelöst, indem man sie auf einen der folgenden Grundtypen zurückführt, und dann wie angegeben umformt. Das ergibt entweder die Lösung oder eine einfachere Gleichung.

GrundtypUmformung
Lineare Gleichung
$ax+b=0$
Umstellen
$a\ne 0:$ $x=-\frac ba$
$a=0; b=0$: unendlich viele Lösungen
$a=0; b\ne0$: Keine Lösung
Bruchgleichung
$\frac{f(x)}{g(x)}=0$
Mit Nenner multiplizieren
$f(x)=0$
Quadratische Gleichung
$a f (x )^2+b f ( x )+ c=0$
Lösungsformel
$f(x)=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Betragsleichung
$|f(x)|=a$
Fallunterscheidung
$f(x)=a; f(x)=-a$
Potenzgleichung
$f(x)^n=a$
Wurzel ziehen
n gerade; $a\ge 0$: $f(x)=\pm\sqrt[n]{a}$
n gerade; $a\lt 0$: keine Lösung
n ungerade; $a\ge 0$: $f(x)=\sqrt[n]{a}$
n ungerade; $a\lt 0$: $f(x)=-\sqrt[n]{|a|}$
Wurzelgleichung
$\sqrt[n]{f(x)}=a$
Potenzieren
n gerade; $a\lt 0$: keine Lösung
sonst: $f(x)=a^n$
Exponentialgleichung
$a^{f(x)}=b$
Logarithmieren
$b\gt 0$: $f(x)=\log_a{b}$
$b\le 0$: keine Lösung
Logarithmusgleichung
$\log_a f ( x)=b$
Exponenzieren
$f(x)=a^b$
Sinusgleichung
$\sin{f(x)}=a$
Anwendung von arcsin
$-1\le a\le 1$:
$f(x)=\arcsin(a)+ 2 k\pi$
$f(x)=\pi −\arcsin (a)+2k\pi$
mit $k \in \mathbb{Z}$
$a\lt -1$ oder $a \gt 1$:
keine Lösung
Cosinusgleichung
$\cos{f(x)}=a$
Anwendung von arccos
$-1\le a\le 1$:
$f(x)=\arccos(a)+ 2kπ$
$f(x)=2\pi −\arccos (a)+2 k\pi$
mit $k \in \mathbb{Z}$
$a\lt -1$ oder $a \gt 1$:
keine Lösung
Nullproduktgleichung
$f(x)\cdot g(x)=0$
Satz vom Nullprodukt
$f(x)=0;\; g(x)=0$
Faktorisierbare Gleichung
$f(x)g(x)+f(x)h(x)=0$
Ausklammern
$f(x)(g(x)+h(x))=0$

Beispiele

  1. Wir bestimmen die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von a: $-2(x-4)=ax+8$
    Umformung ergibt $(a+2)x=0$. Für $a=-2$ hat die Gleichungen unendlich viele Lösungen und für $a\ne -2$ genau eine Lösung $x=0$
  2. Wir bestimmen die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von a: $ax=x+3$
    Umformung ergibt $(a-1)x=3$. Diese Gleichung hat für $a=1$ keine Lösung und für $a\ne 1$ genau eine Lösung $x=\frac{3}{a-1} $
  3. |7+2x|=7
    Aus $7+2x=7$ folgt $x_1=0$ und aus $7+2x=-7$ folgt $x_2=-7 $.
    $L=\{-7;0\}$
  4. $2x-5=\frac{1}{x-2}$
    Brüche zusammenfassen ergibt die Bruchgleichung
    $\frac{(2x-5)(x-2)-1}{x-2}=0$.
    Multiplikation mit $x-2$ ergibt $(2x-5)(x-2)-1=0$ bzw. $2x^2-9x+9=0$. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhalten wir
    $L=\{\frac32;3\}$
  5. $1-\frac{1}{x}=\frac{2}{x^2}$
    Brüche zusammenfassen ergibt die Bruchgleichung
    $\frac{x^2-x-2}{x^2}=0$.
    Multiplikation mit $x^2$ führt nun auf die quadratische Gleichung
    $x^2-x-2=0$.
    Die Lösungsformel liefert $x_1=-1$ und $x_2=2$.
    $L=\{-1;2\}$
  6. $(2x-5)(x^2+5x+7)=0$
    Der Satz vom Nullprodukt ergibt
    $2x-5=0$ und $x^2+5x+7=0$.
    Die erste Gleichung hat die Lösung $x=\frac{5}{2}$, die zweite Gleichung ist eine quadratische Gleichung ohne Lösung, da sich in der Lösungsformel unter der Wurzel ein negativer Wert ergibt.
    $L=\{\frac{5}{2}\}$.
  7. $2x^3+9x^2+10x=0$
    $L=\{-\frac{5}{2};-2;0\}$ Durch Faktorisieren (Ausklammern) ergibt sich
    $x\cdot(2x^2+9x+10)=0$
    Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt
    $x=0$ und $2x^2+9x+10=0$.
    Die quadratische Gleichung ergibt $x_1=-\frac{5}{2}$ und $x_2=-2$.
    $L=\{-\frac{5}{2};-2;0\}$
  8. $-x^4-6x^2+27=0$
    Es liegt eine quadratische Gleichung mit $f(x)=x^2$ vor, die Lösungsformel führt also zu
    $x^2=\frac{6\pm\sqrt{144}}{-2}$, bzw. $x^2=-9$ und $x^2=3$.
    Die erste Potenzgleichung hat keine Lösung, die zweite ergibt durch Wurzelziehen zwei Lösungen.
    $L=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\}$
  9. $x^4=7$
    Die Potenzgleichung hat eine gerade Hochzahl und ein positives Ergebnis, es gibt somit zwei Lösungen.
    $L=\{-\sqrt[4] 7;\sqrt[4] 7\}$
  10. $x^4=-7$
    Eine Potenzgleichung mit gerader Hochzahl und negativem Ergebnis hat keine Lösung.
    $L=\{\}$
  11. $x^3=\frac{8}{27}$
    Die Potenzgleichung mit ungerader Hochzahl und positivem Ergebnis hat eine Lösung $x=\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}$.
    $L=\{\frac{2}{3}\}$
  12. $x^5=-10$
    Die Potenzgleichung mit ungerader Hochzahl und negativem Ergebnis hat die Lösung $x=-\sqrt[5]{|-10|}=-\sqrt[5]{10}$.
    $L=\{-\sqrt[5]{10}\}$
  13. $\sqrt{(1+x)^2+(1-x)^2}=2$
    Quadrieren und vereinfachen ergibt
    $L=\{-1;1\}$
  14. $1-(\frac56)^x=0,9$
    Umstellen ergibt $(\frac56)^x=0,1 \Leftrightarrow x=\log_{\frac56}(0,1)\approx 12,629$.
    $L=\{\log_{\frac56}(0,1)\}$
  15. $e^{2x-1}-5=0$
    Die Gleichung ist äquivalent zur Exponentialgleichung $e^{2x-1}=5$ mit $f(x)=2x-1$. Exponenziert ergibt das $2x-1=\ln 5 $.
    $L=\{\frac{1}{2}(1+\ln 5)\}$
  16. $6 e^{2x}-e^x -1=0$
    Es liegt eine quadratische Gleichung mit $f(x)=e^x$ vor, die Lösungsformel ergibt
    $e^x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{12}$, bzw. $e^x=\frac{1}{2}$ und $e^x=-\frac{1}{3}$.
    Die erste Exponentialgleichung hat die Lösung $x=\ln{\frac{1}{2}}$, die zweite hat keine Lösung.
    $L=\{\ln{\frac{1}{2}}\}$
  17. $5^x+7\cdot 5^{-x}=8$
    Wir multiplizieren mit $5^x$, das führt auf die quadratische Gleichung
    $5^{2x}-8\cdot 5^x+7=0$ mit $f(x)=5^x$.
    Mit der Lösungsformel gilt
    $5^x=\frac{8\pm \sqrt{36}}{2}$, bzw. $5^x=7$ und $5^x=1$.
    Aus den Exponentialgleichungen ergeben sich zwei Lösungen.
    $L=\{0;\log_5 7\}$
  18. $\sin(3x)=-1$ im Bereich $0\le x\le\pi$
    Mit $\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$ folgt
    $3x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ und $3x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ bzw.
    $x=-\frac{\pi}{6}+\frac23 \pi k$ und $x=\frac{\pi}{2}+\frac23 \pi k$. Daraus erhalten wir eine Lösung im angegebenen Bereich:
    $L=\{\frac12 \pi\}$
  19. $\cos(2x)=-0,8$ im Bereich $0\le x\le 2\pi$
    Mit $\arccos(-0,8)\approx 2,498$ folgt
    $2x\approx 2,498+2k\pi$ und $2x\approx 3,785+2k\pi$. bwz.
    $x\approx 1,249+k\pi$ und $x\approx1,893+k\pi$ Daraus erhalten wir im angegebenen Bereich 4 Näherungslösungen:
    $L=\{1,249;1,893;4,391;5,035\}$
  20. $(\cos(x))^2-4\cdot \cos(x)+4=0$
    Die quadratische Gleichung mit $f(x)=\cos x$ führt zu $\cos x=2$. Diese Gleichung hat keine Lösung, weil das Ergebnis nicht zwischen -1 und 1 liegt.
    $L=\{\}$.