Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme werden durch mehrmaliges Anwenden des Additionsverfahrens auf die sogenannte Stufenform gebracht, aus der sich dann die Lösungsmenge berechnen lässt.

Additionsverfahren

Aus zwei linearen Gleichungen, welche dieselbe Variable enthalten, wird mit dem Additionsverfahren eine neue Gleichung ohne diese Variable erzeugt. Im folgenden Beispiel ist das die Variable $x$:

$$ \begin{array}{ll} 2x+4y &=1 \\ 5x+3y&=4 \end{array} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{array}{rrrrr} -10x & - & 20y & = & -5\\ 10x & + & 6y & = & 8 \end{array} $$

Durch spaltenweise Addition ergibt sich die neue Gleichung $-14y=3$.

Bestimmung der Stufenform

Schreibe in allen Gleichungen die Variablen in derselben Reihenfolge. Ordne die Gleichungen so übereinander an, dass Gleichungen, die mit der ersten Variable beginnen oben stehen, darunter Gleichungen, die mit der zweiten Variablen beginnen, und so weiter.
Ist jetzt die erste Variable in jeder Gleichung eine andere, dann liegt das LGS in Stufenform vor. Ansonsten erzeugst du mit dem Additionsverfahren aus zwei Gleichungen mit derselben ersten Variable eine neue Gleichung ohne diese Variable.

  • Ergibt sich dabei eine falsche Aussage (z.B. 0=1), dann hat das LGS keine Lösung.
  • Ergibt sich dabei eine wahre Aussage (0=0), dann entfernst du eine der beiden Gleichungen aus dem LGS und bestimmst die Stufenform des neuen LGS.
  • Sonst ersetzt du die untere der beiden Gleichungen durch die neue Gleichung und bestimmst die Stufenform des neuen LGS.

Bestimmung der Lösungsmenge

Löse die unterste Gleichung der Stufenform nach ihrer ersten Variablen auf, und ersetze dabei andere Variablen durch neue Parameter $r$, $s$, $t$ usw., falls solche vorkommen. Setze die so erhaltene Lösung in die darüber stehende Gleichung ein, und bestimme hieraus genauso die nächste Variable. Wiederhole diesen Vorgang, indem du jeweils in die darüberstehende Gleichung einsetzt, bis alle Variablen bestimmt sind.
Wird kein Parameter benötigt, dann hat das LGS genau eine Lösung. Kommen dagegen Parameter in der Lösung vor, so hat man auf diese Weise unendlich viele Lösungen des LGS dargestellt. Die Anzahl der benötigten neuen Parameter nennt man auch Dimension der Lösungsmenge, sie ergibt sich direkt aus der Differenz der Anzahl der Variablen des LGS und der Anzahl der Gleichungen in der Stufenform.

Beispiele

  1. Wir bestimmen die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: $$\begin{array}{rrrrrrr} 3x_1 & -& 2x_2 & - & 4x_3 & = & 2 \\ x_1 & - & 6x_2 & + & 2x_3 & = & 0 \\ -7x_1 & + & 10x_2 & + & 6x_3 & = & 5 \end{array} $$ Wir addieren die erste Gleichung und die mit $-3$ multiplizierte zweite Gleichung und schreiben das Ergebnis anstelle der zweiten Gleichung.\crlf Wir addieren die mit 7 multiplizierte erste Gleichung und die mit 3 multiplizierte dritte Gleichung und schreiben das Ergebnis anstelle der dritten Gleichung. $$\begin{array}{rrrrrrr} 3x_1 & - & 2x_2 & - & 4x_3 & = & 2 \\ & & 16x_2 & - & 10x_3 & = & 2 \\ & & 16x_2 & - & 10x_3 & = & 29 \\ \end{array} $$ Addiert man nun die zweite Gleichung und die mit -1 multiplizierte dritte Gleichung, so entsteht die falsche Aussage $0=-27$. Das LGS hat somit keine Lösung.
  2. Gesucht ist die Lösung des folgenden LGS: $$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ -2x_1 & + & 2x_2 & - & 2x_3 & = & -2 \\ 3x_1 & - & x_2 & + & 3x_3 & = & 7 \end{array} $$ Aus der ersten und zweiten Gleichung folgt mit dem Additionsverfahren $0=0$, wir streichen also z.B. die zweite Gleichung. Mit dem Additionsverfahren eliminieren wir dann noch $x_1$ aus der ersten und dritten Gleichung und erhalten so die Stufenform: $$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & 1 \\ & & 2x_2 & & & = & 4 \end{array} $$ Die untere Gleichung ergibt $x_2=2$. Das ergibt in die darüberstehende Gleichung eingesetzt $x_1-2+x_3=1$. Wir setzen hier $x_3=t$ und erhalten damit $x_1=3-t$. Das LGS hat somit unendlich viele Lösungen mit einem Parameter $t$, die Lösungsmenge hat die Dimension 3-2=1 und ist gegeben durch $L=\{(3-t;2;t)\}$.