Hypothesen Tests

Beim Testen einer Hypothese über die Trefferwahrscheinlichkeit einer $B_{n;p}$-verteilten Zufallsvariablen $X$ lehnt man diese Hypothese ab, falls dabei zu wenig (linksseitiger Test) oder zu viele Treffer (rechtsseitiger Test) auftreten.
Die Hypothese, welche getestet wird, nennt man Nullhhypothese $H_0$, die Gegenannahme heißt Alternativhypothese $H_1$.

Unter dem Signifikanzniveau $\alpha$ versteht man eine obere Grenze für die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ fälschlicherweise abzulehnen.

Aus dem Signifikanzniveau lässt sich der Ablehnungsbereich berechnen. Durch diesen ist dann die Entscheidungsregel für den Test festgelegt, bei welchen Trefferanzahlen $H_0$ abgegelehnt oder angenommen wird.

Unter der Irrtumswahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für den berechneten Ablehnungsbereich. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man $H_0$ fälschlicherweise ablehnt und hat höchstens den Wert von $\alpha$.

Linksseitiger Test

  • Es wird die Nullhypothese getestet, ob die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mindestens einen bestimmten Wert $p_0$ hat.
    $H_0: p\ge p_0$; $H_1: p\lt p_0$
  • $H_0$ wird abgelehnt, wenn zu wenige Treffer auftreten.
    Für die $B_{n;p}$-verteilte Zufallsvariable $X$ und das Signifikanzniveau $\alpha$ bestimmt man deshalb die größte Zahl $k$, für die gilt:
    $P(X\le k)\le \alpha \Leftrightarrow F_{n;p}(k) \le \alpha$
  • Der Ablehnungsbereich $A$ ist nun durch $k$ festgelegt:
    $A=\{0,...,k\}$
  • Für die Irrtumswahrscheinlichkeit gilt:
    $P(X\le k)=F_{n;p}(k))$

Rechtsseitiger Test

  • Es wird die Nullhypothese getestet, ob die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ höchstens einen bestimmten Wert $p_0$ hat.
    $H_0: p\le p_0$; $H_1: p\gt p_0$
  • $H_0$ wird abgelehnt, wenn zu viele Treffer auftreten.
    Für die $B_{n;p}$-verteilte Zufallsvariable $X$ und das Signifikanzniveau $\alpha$ bestimmt man deshalb die kleinste Zahl $k$, für die gilt:
    $P(X\ge k)\le \alpha \Leftrightarrow 1-F_{n;p}(k-1) \le \alpha$
  • Der Ablehnungsbereich $A$ ist nun durch $k$ festgelegt:
    $A=\{k,...,n\}$
  • Für die Irrtumswahrscheinlichkeit gilt:
    $P(X\ge k)=1-F_{n;p}(k-1)$

Beispiele

  1. Bei einem Würfel soll in einem Test mit 100 Würfen die Hypothese $H_0$ untersucht werden, dass die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln mindestens $\frac{1}{6}$ ist. Die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ irrtümlich abzulehnen (Irrtumswahrscheinlichkeit) soll dabei höchstens $2 \%$ betragen. Gesucht ist eine Entscheidungsregel, für welche Anzahlen von Sechsen $H_0$ abgelehnt, bzw. angenommen wird.
    $H_0$ wird irrtümlich abgelehnt, wenn $H_0$ richtig ist, aber zuwenig Sechsen erscheinen, also die Trefferzahl $X$ in einem Ablehnungsbereich $\{0,...,k\}$ liegt. Es ist also die größte Zahl $k$ gesucht, mit
    $P(X\le k)\le 0,02\Leftrightarrow F_{100;\frac{1}{6}}(k)\le 0,02$
    Berechnet man mit dem Taschenrechner $F_{100;\frac{1}{6}}(k)$ für verschiedene $k$-Werte, so ergibt sich als größtmöglicher Wert $k=8$. Die Entscheidungsregel für den Test lautet somit, dass $H_0$ abgelehnt wird, wenn die Anzahl der Sechsen im Bereich $\{0,...,8\}$ liegt, und angenommen wird, wenn sie im Bereich $\{9,...,100\}$ liegt.
    Für die Irrtumswahrscheinlichkeit erhalten wir noch $P(X\le 8)=F_{100;\frac{1}{6}}(8)\approx 0,95\%$
  2. Bei einem Würfel soll in einem Test mit 100 Würfen die Hypothese $H_0$ untersucht werden, dass die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln höchstens $\frac{1}{6}$ ist. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 2 $\%$ betragen. Gesucht ist die Entscheidungsregel, für welche Anzahlen von Sechsen $H_0$ abgelehnt, bzw. angenommen wird.
    $H_0$ wird irrtümlich abgelehnt, wenn $H_0$ richtig ist, aber zuviel Sechsen erscheinen, also die Trefferzahl $X$ in einem Ablehnungsbereich $\{k,...,100\}$ liegt. Es ist also die kleinste Zahl $k$ gesucht, mit
    $P(X\ge k)\le 0,02$
    $\Leftrightarrow 1-F_{100;\frac{1}{6}}(k-1)\le 0,02$
    $\Leftrightarrow F_{100;\frac{1}{6}}(k-1) \ge 0,98$
    Die Berechnung von $F_{100;\frac{1}{6}}(k-1)$ mit dem Taschenrechner für verschiedene $k$-Werte ergibt als kleinstmöglichen Wert $k=26$.
    Die Entscheidungsregel für den Test lautet somit, dass $H_0$ abgelehnt wird, wenn die Anzahl der Sechsen im Bereich $\{26,...,100\}$ liegt, und angenommen wird, wenn sie im Bereich $\{0,...,25\}$ liegt.
    Für die Irrtumswahrscheinlichkeit ergibt sich damit $P(X\ge 26)=1-F_{100;\frac{1}{6}}(25)\approx 1,18\%$.