Integral

Das Integral $\int_a^b f(x) dx$ einer Funktion $f$ mit den Grenzen a und b wird mit einer Stammfunktion $F$ berechnet, indem man in die Stammfunktion zuerst die obere Grenze b, dann die untere Grenze a einsetzt und die Differenz bildet:

$ \int_a^b f(x) dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$

Mittelwert

Der Mittelwert $M$ der Funktionswerte einer Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ wird mit folgendem Integral berechnet:

$M=\frac{1}{b-a}\cdot\int_a^b f(x)dx$

Flächen

Eine von zwei Funktionen begrenzte Fläche kann mithilfe eines Integrals bestimmt werden.
Liegt die Funktion $f$ im Intervall $[a;b]$ über der Funktion $g$, dann gilt für die Fläche $A$, welche von $f$ und $g$, sowie den Geraden $x=a$ und $x=b$ eingeschlossene wird:

$A=\int_a^b f(x)-g(x)dx$

Beispiele

  • $\int_1^e \frac 1x dx=[\ln(x)]_1^e=\ln(e)-\ln(1)=1-0=1$
  • Für den Mittelwert M der Funktionswerte von $f(x)=x+1$ im Intervall $[-1;3]$ gilt:
    $\begin{align} M & = \frac{1}{3-(-1)}\int_{-1}^3x+1 dx\\ & = \frac 14[\frac 12 x^2+x]_{-1}^3\\ & = 2 \end{align}$
  • Für die Fläche $A$, die von den Funktionen $f(x)=x^2$ und $g(x)=-x$, sowie den Geraden $x=1$ und $x=2$ eingeschlossen wird erhalten wir
    $\begin{align} A & = \int_1^2x^2-(-x)dx\\ & = [\frac13 x^3 + \frac12 x^2]_1^2\\ & = \frac {14}{3}-\frac 56\\ & = \frac {23}{6}\\ \end{align}$