Integralfunktion

Aus einer Funktion $f(x)$ und einer reellen Zahl $a$ kann mit einem Integral eine neue Funktion $I_a(x)$ definiert werden, welche als Integralfunktion bezeichnet wird:

$I_a(x)=\int_a^x f(t)dt$

Eigenschaften von Integralfunktionen

  • Jede Integralfunktion einer Funktion $f$ ist eine Stammfunktion von $f$, es gilt also
    $I_a'(x)=f(x)$.
  • Jede Integralfunktion $I_a$ hat die Nullstelle $x=a$, es gilt also
    $I_a(a)=0$
  • Ist $F$ eine beliebige Stammfunktion von $f$, dann kann $I_a$ damit integralfrei geschrieben werden:
    $I_a(x)=F(x)-F(a)$
  • Eine Stammfunktion $F$ von $f$ ist genau dann eine Integralfunktion von $f$, falls $F$ eine Nullstelle $a$ besitzt, dann gilt
    $F(x)=I_a(x)$

Rekonstruktion aus Änderungsrate

Ist $f(x)$ die momentane Änderungsrate (bzw. Änderungsgeschwindigkeit) eines Prozesses $g(x)$ mit $x$ als Variable für die Zeit, dann beschreibt die Integralfunktion $I_0(x)$ von $f$ die zeitliche Gesamtänderung von $g$ vom Beginn bis zum Zeitpunkt $x$. Ist die Anfangsgröße $g(0)$ bekannt, dann kann also der zeitliche Verlauf von $g$ aus $f$ rekonstruiert werden:

$g(x)=g(0)+I_0(x)=g(0)+\int_0^x f(t)dt$

Beispiele

  1. Es ist die Ableitung der Integralfunktion von $f(x)=e^{x^2}$ mit $a=\pi$ zu bestimmen.
    Für $I_{\pi}(x)=\int_{\pi}^x e^{t^2} dt$ gilt wegen $I_a'(x)=f(x)$:
    $I_{\pi}'(x)=e^{x^2}$
  2. Wir untersuchen, ob jede Stammfunktion von $f(x)=\sin(x)$ eine Integralfunktion von $f$ ist.
    Alle Stammfunktionen von $f(x)$ haben die Form $F(x)=-\cos(x)+c$ mit $c$ als beliebiger reeler Zahl.
    Wählt man aber z.B. $c=2$ so hat $F(x)$ keine Nullstelle, da die Gleichung $-\cos(x)+2=0$ keine Lösung besitzt ($\cos x$ nimmt nur Werte zwischen -1 und 1 an).
    Die Stammfunktion $F(x)=-\cos(x)+2$ ist also keine Integralfunktion.
  3. Die Änderungsgeschwindigkeit der Pflanzenhöhe einer Blume zum Zeitpunkt $x$ (in Tagen) ist gegeben durch $f(x)=10e^{-x}$ (in $\frac{cm}{Tag}$).
    Zu Beginn hat sie eine Höhe von 10 cm.
    Gesucht ist eine integralfreie Funktion $h(x)$, welche die Pflanzenhöhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
    Die Pflanzenhöhe wird aus der Wachstumsgeschwindigkeit $f$ mit einer Integralfunktion wie folgt rekonstruiert:
    $\begin{align} h(x)& = h(0) + I_0(x) \\ & = 10 + \int_0^x 10e^{-t}dt\\ & = 10 + [-10e^{-t}]_0^x\\ & = 20 -10e^{-x} \end{align}$