Lagebeziehungen

Die Untersuchung der Lage von Punkten, Geraden und Ebenen zueinander ergibt, ob diese Schnittmengen haben, und gegebenfalls die Berechnung solcher Schnittpunkte oder Schnittgeraden

Punkt - Gerade

Die Koordinaten des Punkts $A(a_1|a_2|a_3)$ werden in der Geradengleichung $g: \vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{r}$ für $\vec{x}$ eingesetzt, das ergibt die drei Gleichungen $$\begin{array}{r} a_1=p_1+r_1 t\\ a_2=p_2+r_2 t \\ a_3=p_3+r_3 t \end{array}$$ Wenn sich aus allen drei Gleichungen dasselbe $t$ ergibt, dann liegt $A$ auf $g$, sonst nicht.

Punkt - Ebene

Die Koordinaten des Punktes $P$ werden in der Ebene $E: ax_1+bx_2+cx_3=d$ für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ eingesetzt. $P$ liegt auf $E$, falls die Gleichung aufgeht, ansonsten nicht.

Gerade - Gerade

Man setzt die beiden Geradengleichungen $\vec{x}=\vec{a}+s\vec{u}$ und $\vec{x}=\vec{b}+t\vec{v}$ gleich: $\vec{a}+s\vec{u}=\vec{b}+t\vec{v}$.
Daraus ergibt sich für die Unbekannten $s$ und $t$ das Gleichungssystem $$\begin{array}{r} u_1s-v_1t=b_1-a_1\\ u_2s-v_2t=b_2-a_2\\ u_3s-v_3t=b_3-a_3 \end{array}$$

  • Wenn das LGS genau eine Lösung für s und t hat, dann haben die Geraden einen Schnittpunkt. Dieser ergibt sich durch Einsetzen von $s$ oder $t$ in die zugehörige Geradengleichung.
  • Hat das LGS unendlich viele Lösungen, dann sind die Geraden identisch.
  • Wenn das LGS keine Lösung hat, überprüft man die beiden Richtungsvektoren der Geraden: sind sie Vielfache voneinander, dann sind die Geraden parallel, ansonsten sind sie windschief.

Gerade - Ebene

Aus der Geradengleichung $\vec{x} =\vec{p} + t\cdot \vec{r}$ erhält man $$\begin{array}{r} x_1 = p_1 +r_1 t\\ x_2 = p_2 +r_2 t\\ x_3 = p_3 +r_3 t \end{array}$$ Diese Koordinaten werden in die Koordinatengleichung der Ebene eingesetzt, wobei 3 Fälle auftreten können:

  • Die Gleichung lässt sich nach $t$ auflösen. Das ergibt den Schnittpunkt durch Einsetzen von $t$ in die Geradengleichung.
  • Die Gleichung lässt sich nicht auflösen weil $t$ wegfällt, und sie ergibt eine wahre Aussage. Dann liegt die Gerade in der Ebene.
  • Die Gleichung lässt sich nicht nach $t$ auflösen und ergibt eine falsche Aussage. Dann sind die Gerade und die Ebene parallel zueinander.

Ebene - Ebene

Die beiden Koordinatengleichungen bilden ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen: $$\begin{array}{r} a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3=d_1\\ a_2x_1+b_2x_2+c_2x_3=d_2 \end{array}$$

  • Wenn das LGS keine Lösung hat sind die Ebenen parallel.
    Das erkennt man daran, dass sich beim Additionsverfahren direkt eine falsche Aussage ergibt.
  • Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist 2-dimensional (d.h., es werden zwei Parameter zur Beschreibung der Lösungen benötigt), dann sind die Ebenen identisch.
    Das erkennt man daran, dass sich beim Additionsverfahren direkt eine wahre Aussage ergibt.
  • Wenn das LGS unendlich viele Lösungen hat und die Lösungsmenge ist 1-dimensional (d.h., es wird ein Parameter zur Beschreibung der Lösungen benötigt), dann gibt es eine Schnittgerade. Die Gleichung der Schnittgeraden ergibt sich aus der vektoriellen Darstellung der Lösung.

Beispiele

  1. Punkt - Gerade
    Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x}= \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 3\end{array}\right)+ t \left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 6\end{array}\right)$
    Wir prüfen, ob die Punkte $P_1(3|1|9)$ und $P_2(0|0|3)$ auf $g$ liegen.
    Einsetzen von $P_1$ für $\vec{x}$ ergibt bei allen drei Gleichungen $t=1$, d.h. $P_1$ liegt auf $g$. Setzt man $P_2$ ein, ergibt sich $t=-\frac{1}{2}$ bzw. $t=2$, $P_2$ liegt also nicht auf $g$.
  2. Punkt - Ebene
    Gegeben ist die Ebene $E: x_1-6x_2+2x_3=7$. Wir untersuchen, ob $P_1(3|1|5)$ und $P_2(0|0|0)$ auf $E$ liegen.
    $P_1(3|1|5)$ liegt auf $E$, da $3-6\cdot 1+2\cdot 5=7$.
    $P_2(0|0|0)$ liegt nicht auf $E$, da $0-6\cdot 0+2\cdot 0\ne 7$.
  3. Gerade - Gerade
    Gegeben sind fünf Geraden:
    $g_1: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 2\end{array}\right) +s\left(\begin{array}{r} 4\\ -2\\ 6\end{array}\right)$, $g_2: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 5\\ -3\\ 8\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$, $g_3: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ -4\end{array}\right) +u\left(\begin{array}{r} 5\\ 2\\ -3\end{array}\right)$, $g_4: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 5\\ -3\\ 1\end{array}\right) +v\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$, $g_5: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 7\end{array}\right) +w\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 3\end{array}\right)$
    Lage von $g_1$ und $g_2$:
    Gleichsetzen der Geraden ergibt $$\begin{array}{rrrrr} 4s & + & 2t & = & 4\\ -2s & - & t & = & -2\\ 6s & + & 3t & = & 6 \end{array}$$ Die Stufenform dieses LGS enthält nur noch eine Gleichung, es hat also unendlich viele Lösungen und somit sind $g_1$ und $g_2$ identisch.
    Lage von $g_1$ und $g_3$:
    $$\begin{array}{rrrrr} 4s & - & 5u & = & -4\\ -2s & - & 2u & = & 2\\ 6s & + & 3u & = & -6 \end{array}$$ Dieses LGS hat die Lösung $s=-1$ und $u=0$. Durch Einsetzen in eine der Geradengleichungen ergibt sich damit der Schnittpunkt $S(-3|1|-4)$.
    Lage von $g_1$ und $g_4$:
    $$\begin{array}{rrrrr} 4s & - & v & = & 4\\ -2s & - & v & = & -2\\ 6s & - & v & = & -1 \end{array}$$ Dieses LGS ergibt eine falsche Aussage, es hat also keine Lösung. Da die Richtungsvektoren keine Vielfache voneinander sind, sind $g_1$ und $g_4$ windschief.
    Lage von $g_1$ und $g_5$:
    $$\begin{array}{rrrrr} 4s & - & 2w & = & -1\\ -2s & + & w & = & 2\\ 6s & - & 3w & = & 5 \end{array}$$ Das LGS hat keine Lösung. Da die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (mit dem Faktor 2), sind $g_1$ und $g_5$ parallel.
  4. Gerade - Ebene
    Gegeben sind die Ebene $E: x_1-3x_2+x_3+2=0$ und die drei Geraden
    $g_1: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 6\\ 2\\ -1\end{array}\right) +s\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\end{array}\right)$, $g_2: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ 6\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r} -1\\ 5\\ 6\end{array}\right)$, $g_3: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -1\end{array}\right) +u\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$
    Wir bestimmen die Lage von jeder Gerade zu der Ebene.
    Lage von $g_1$ zu $E$:
    Aus der Geradengleichung erhält man $x_1=6$, $x_2=2+s$ und $x_3=-1+3s$.
    Eingesetzt in $E$ folgt $6-3(2+s)-1+3s+2=0$. Das ergibt die falsche Aussage $1=0$, $g_1$ ist also parallel zu $E$.
    Lage von $g_2$ zu $E$:
    Aus der Geradengleichung erhalten wir $x_1=2-t$, $x_2=5t$ und $x_3=6+6t$.
    Einsetzen in $E$ ergibt $2-t-3\cdot 5t+6+6t+2=0$. Daraus folgt $t=1$, womit sich durch Einsetzen in die Geradengleichung der Schnittpunkt $S(1|5|12)$ von $g_2$ und $E$ ergibt.
    Lage von $g_3$ zu $E$:
    Aus der Geradengleichung entnehmen wir $x_1=2+u$, $x_2=1$ und $x_3=-1-u$.
    Durch Einsetzen in $E$ ergibt sich $2+u-3\cdot 1-1-u+2=0$. Das ergibt die wahre Aussage $0=0$, $g_3$ liegt somit in der Ebene $E$.
  5. Ebene - Ebene
    Gegeben sind vier Ebenen:
    $E_1: x_1-x_2+x_3=1$
    $E_2: -2x_1+2x_2-2x_3=-2$
    $E_3: 3x_1-3x_2+3x_3=2$
    $E_4: 3x_1-x_2+3x_3=7$
    Gesucht ist die Lage von $E_1$ zu den anderen drei Ebenen.
    Lage von $E_1$ und $E_2$:
    $$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & 1\\ -2x_1 & + & 2x_2 & - & 2 x_3 & = & -2\\ \end{array}$$ Bei der Lösung des LGS ergibt sich mit dem Additionsverfahren die wahre Aussage $0=0$, d.h. $E_1$ und $E_2$ sind identisch.
    Lage von $E_1$ und $E_3$:
    $$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & 1\\ 3x_1 & - & 3x_2 & + & 3 x_3 & = & 2\\ \end{array}$$ Beim Additionsverfahren ergibt sich direkt eine falsche Aussage, d.h. $E_1$ und $E_3$ sind parallel.
    Lage von $E_1$ und $E_4$:
    $$\begin{array}{rrrrrrr} x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = & 1\\ 3x_1 & - & x_2 & + & 3x_3 & = & 7\\ \end{array}$$ Dieses LGS hat die Lösung $x_1=3-t$, $x_2=2$, $x_3=t$. Die vektorielle Schreibweise hierfür liefert die Geradengleichung der Schnittgerade von $E_1$ und $E_4$:
    $\vec{x}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 0\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$