Normalen

Eine Normale an eine Funktion $f$ ist eine Gerade $n$, welche $f$ in einem Punkt $S(u|f(u))$ senkrecht schneidet. Ihre Gleichung erhält man mit der Normalenformel:

$y=−\frac{1}{f'(u)}(x−u)+ f (u)$

Bestimmung der Normale durch den Schnittpunkt

Es werden $f'(u)$ und $f(u)$ mit dem gegebenen Wert für $u$ berechnet. Die Geradengleichung der Normale ergibt sich dann durch Einsetzen von $u$, $f'(u)$ und $f(u)$ in die Normalenformel.

Bestimmung von Normalen durch einen anderen Punkt

Man setzt die Punktkoordinaten $x$ und $y$ in die Normalenformel ein. Für $f(u)$ und $f'(u)$ schreibt man hier die gegebene Funktion und ihre Ableitung mit $u$ statt $x$. Die Lösungen dieser Gleichung für $u$ ergeben die Schnittpunkte. Durch diese können dann mit der Normalenformel wieder die Normalengleichungen bestimmt werden.

Bestimmung von Normalen durch die Steigung

Mit der Steigung $m$ werden die Lösungen der Gleichung $f'( x)\cdot m=−1$ bestimmt. Diese ergeben die Schnittpunkte, und mit der Normalenformel die Normalengleichungen.

Beispiele

  1. Bestimmung der Normale an $f(x)=x^2 +1$ im Schnittpunkt $S(2|f(2))$.
    Aus $f'(x)=2x$ und $u=2$ folgt mit der Normalenformel:
    $\begin{align} y & = -\frac{1}{f'(2)}(x-2)+f(2)\\ & = -\frac{1}{4}(x-2)+5\\ & = -0,25x+5,5 \end{align}$
  2. Bestimmung der Normalen an die Funktion $f(x)=x$ durch den Punkt $P(2|0)$.
    Mit $f'(x)=1$ ergibt sich aus der Normalenformel die Gleichung $0=-\frac{1}{1}(2-u)+u$ mit der Lösung $u=1$. Die Normale schneidet somit $f$ im Punkt $S(1|1)$ und hat die Gleichung $y= -x+2$.
  3. Bestimmung der Normalen mit der Steigung $m= 0,25$ an die Funktion $f(x)=x^2 +1$.
    Die Gleichung $f'(x)\cdot0.25=-1$ hat die Lösung $x=-2$. Daraus folgt der Schnittpunkt $S(-2|5)$ und hiermit die Normalengleichung $y= 0,25x+5,5$.