Potenzen und Logarithmen

Folgende Gleichungen sind gleichwertig:

$a^b=c \quad\Longleftrightarrow\quad b=\log_a c$

Ist die Basis die Eulersche Zahl $e=2,71828...$, dann wird der Logarithmus auch "natürlicher Logarithmus" genannt und mit $\ln$ (für Logarithmus Naturalis) abgekürzt. Es gilt also die Kurzschreibweise $\log_e c =\ln c$:

$e^b=c \quad\Longleftrightarrow\quad b=\ln c$

Durch Einsetzen der rechten Logarithmusgleichung die linke Potenzgleichung, bzw. umgekehrt ergibt sich daraus:

$a^{\log_a c}=c\quad\quad$ bzw. $\quad b=\log_a a^b$
$e^{\ln c}=c\quad\quad$ bzw. $\quad b=\ln e^b$

Rechenregeln für Potenzen

  • $a^n \cdot a^m=a^{n+m}$
  • $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$
  • $(a \cdot b)^n=a^n\cdot b^n$
  • $(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$
  • $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$
  • $a^0=1$
  • $a^1=a$
  • $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
  • $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Rechenregeln für Logarithmen

  • $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$
  • $\log_a (\frac{b}{c})=\log_a b - \log_a c $
  • $\log_a b^c=c\cdot\log_a b$
  • $\log_a 1 =0$
  • $log_a a =1$

Beispiele

  1. $e^0=1$
  2. $10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0,01$
  3. $\frac{1}{(x+1)^3}=(x+1)^{-3}$
  4. $e^{-2x}=\frac{1}{e^{2x}}$
  5. $\frac{1}{\sqrt[7]{x^4}}=\frac{1}{x^{\frac47}}=x^{-\frac47}$
  6. $x^2\cdot x^3=x^{2+3}=x^5$
  7. $(x^2)^3=x^{2\cdot 3}=x^6$
  8. $\log_x \frac{1}{x}=\log_x 1 - \log_x x=0-1=-1$
  9. $\ln{e^3}=3\cdot\ln e=3$
  10. $\ln{\sqrt[4]{e}}=\ln{e^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{4}\cdot \ln{e}=\frac{1}{4}$
  11. $e^{3\cdot\ln 2}=(e^{\ln 2})^3=2^3=8$