Räumliche Darstellung

Darstellung von Geraden

Um eine Gerade räumlich darzustellen, zeichnet man zunächst den Punkt des Stützvektors der Geraden ein. Das wird besonders anschaulich, wenn man dabei in der $x_{1;2}$ Ebene zwei Parallelen zur $x_1$- und $x_2$-Achse einzeichnet, und von deren Schnittpunkt noch eine Parallele zur $x_3$ Achse zum Punkt des Stützvektors.
Die Gerade kann man nun von diesem Punkt aus mithilfe des Richtungsvektors in beide Richtungen zeichnen.
Besondere Lagen der Gerade erkennt man an Nullen im Richtungsvektor:

  • Enthält der Richtungsvektor eine Koordinate mit dem Wert Null, dann verläuft die Gerade parallel zur Koordinatenebene der beiden anderen Koordinaten, die nicht den Wert Null haben.
    Falls auch der Stützvektor dieselbe Koordinate mit dem Wert Null hat, ist die Gerade sogar in dieser Koordinatenebene enthalten.
  • Enthält der Richtungsvektor zwei Koordinaten mit dem Wert Null, dann verläuft die Gerade parallel zur Koordinatenachse der anderen Koordinate, die nicht den Wert Null hat.
    Falls auch der Stützvektor dieselben Koordinaten mit dem Wert Null hat, ist die Gerade sogar identisch mit dieser Koordinatenachse.

Darstellung von Ebenen

Um eine Ebene mit der Koordinatengleichung $E: ax_1+bx_2+cx_3=d$ räumlich darzustellen, berechnet man zuerst ihre Spurpunkte. Das sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
Für den Spurpunkt $S_1$ auf e $x_1$-Achse gilt $x_2=0$ und $x_3=0$. Setzt man das in die Koordinatengleichung ein, so ergibt sich $ax_1=d$ und es gibt folgende Möglichkeiten:

  • Für $a\ne 0$ folgt $x_1=\frac da$, die Ebene schneidet dann die $x_1$-Achse im Spurpunkt $S_1(\frac da|0|0)$.
  • Für $a=0$ enthält die Ebene die $x_1$-Achse (falls $d=0$ ) oder sie ist parallel zur $x_1$-Achse (falls $d\ne 0$ ).

Entsprechendes gilt für Spurpunkte auf der $x_2$-Achse und der $x_3$-Achse.

Zur Darstellung der Ebene im Koordinatensystem mithilfe von einem, zwei oder drei Spurpunkten markiert man diese auf den Koordinatenachsen und geht wie folgt vor:

  • Bei drei Spurpunkten verbindet man diese, dieses Spurdreieck stellt einen dreieckigen Ausschnitt der Ebene dar.
  • Bei zwei Spurpunkten zeichnet man durch diese jeweils eine Parallele zur dritten Achse und erhält so einen streifenförmigen Ausschnitt der Ebene.
  • Bei nur einem Spurpunkt zeichnet man durch diesen zwei Parallelen zu den anderen Achsen und erhält so einen kreuzförmigen Ebenenausschnitt.

Beispiele

  1. Bestimmung der Lage von $: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -7\end{array}\right)+ t\cdot\left(\begin{array}{r} -3\\ 0\\ 6\end{array}\right)$
    Diese Gerade verläuft durch den Punkt $P(4|2|-7)$ und ist parallel zur $x_{1;3}$-Koordinatenebene.
  2. Bestimmung der Lage von $: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 5\\ -1\\ 1\end{array}\right)+ t\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
    Diese Gerade verläuft durch den Punkt $P(5|-1|1)$ und ist parallel zur $x_{1}$-Koordinatenachse.
  3. Bestimmung der Lage von $E: 2x_1+x_2-3x_3=6$ im Koordinatensystem.
    Die Ebene hat die drei Spurpunkte $S_1(3|0|0)$, $S_2(0|6|0)$ und $S_3(0|0|-2)$. Durch Einzeichnen und Verbinden dieser Punkte erhält man einen dreieckigen Ausschnitt von $E$
  4. Bestimmung der Lage von $E: 2x_1-3x_3=6$ im Koordinatensystem.
    Die Ebene ist parallel zur $x_2$-Achse, und schneidet die anderen Achsen in den Punkten $S_1(3|0|0)$ und $S_3(0|0|-2)$. Zeichnet man diese Punkte ein, und durch beide eine Parallele zur $x_2$ Achse, so ergibt sich ein streifenförmiger Ebenenausschnitt.
  5. Bestimmung der Lage von $E: 2x_1=6$ im Koordinatensystem.
    Die Ebene ist parallel zur $x_2$-Achse und zur $x_3$-Achse und schneidet die $x_1$-Achse im Punkt $S_1(3|0|0)$. Zeichnet man diesen Punkt ein und durch diesen Parallelen zur $x_2$-Achse und zur $x_3$-Achse, so ergibt sich ein kreuzförmiger Ausschnit aus der Ebene.