Spiegelungen

Punkte, Geraden und Ebenen können wiederum an Punkten, Geraden und Ebenen gespiegelt werden, wobei sich alle Spiegelungen auf die grundlegende Spiegelung eines Punkts an einem Punkt zurückführen lassen.

Punkt an Punkt

Spiegelt man einen Punkt $P$ an einem Punkt $Z$, dann gilt für den gespiegelten Punkt $P'$:

$\vec{p'}=\vec{z}+\vec{PZ}$

Punkt an Gerade

  • Es wird die Koordinatengleichung einer Hilfsebene bestimmt, die den gegebenen Punkt $P$ enthält und orthogonal zur Gerade ist. Dazu wird der Richtungsvektor der Gerade als Normalenvektor für die Koordinatenform verwendet, und dann $P$ in die linke Seite der Koordinatenform eingesetzt.
  • Nun bestimmt man den Schnittpunkt $S$ der Gerade mit dieser Hilfsebene.
  • Zuletzt spiegelt man den Punkt $P$ am Punkt $S$.

Punkt an Ebene

  • Bestimme die Geradengleichung einer Hilfsgerade, die den gegebenen Punkt $P$ enthält und orthogonal zur Ebene ist. Dazu wird der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor für die Geradengleichung verwendet, und $P$ als Stützvektor.
  • Nun wird der Schnittpunkt $S$ der Ebene mit dieser Hilfsgerade berechnet.
  • Zuletzt spiegelt man den Punkt $P$ am Punkt $S$.

Spiegelung einer Gerade

Soll eine Gerade gespiegelt werden, dann wählt man zwei Geradenpunkte $P$ und $Q$, indem man für den Parameter $t$ der Parameterform zwei beliebige Werte einsetzt. Dann bestimmt man deren gespiegelten Punkte $P'$ und $Q'$, und aus diesen die Geradengleichung der gespiegelten Gerade.

Spiegelung einer Ebene

Um eine Ebene zu spiegeln, bestimmt man entsprechend drei Punkte auf der Ebene. Um einen Punkt auf einer Ebene zu bestimmen, wählt man für zwei Punktkoordinaten einen beliebigen Wert, setzt diese in die Koordinatengleichung der Ebene ein, und bestimmt daraus dann die dritte Punktkoordinate. Aus den drei gespiegelten Punkten lässt sich dann die Koordinatengleichung der gespiegelten Ebene bestimmen.

Beispiele

  1. Punkt an Punkt
    Wir spiegeln den Punkt $P(7|-2|3)$ am Punkt $Z(1|5|-2)$.
    Für $P'$ ergibt sich der Ortsvektor
    $\begin{align} \vec{p'} & =\vec{z}+\vec{PZ}\\ & = \left(\begin{array}{r} 1\\ 5\\ -2\end{array}\right) +\left(\begin{array}{r} 1\\ 5\\ -2\end{array}\right) -\left(\begin{array}{r} 7\\ -2\\ 3\end{array}\right)\\ & = \left(\begin{array}{r} -5\\ 12\\ -7\end{array}\right) \end{align}$
  2. Punkt an Gerade
    Wir spiegeln den Punkt $P(-3|3|2)$ der Gerade
    $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} -9\\ 1\\ 3\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ -2\end{array}\right)$
    Dazu wird eine Hilfsebene $E$ aufgestellt, die zu $g$ orthogonal ist und $P$ enthält. Diese hat den Richtungsvektor von $g$ als Normalenvektor, sie hat also die Gleichung $x_1 +3x_2 - 2x_3 = d$. Durch Einsetzen vom $P$ ergibt sich $E : x_1 +3x_2 - 2x_3 = 2$.
    Als Schnittpunkt von $E$ und $g$ ergibt sich der Punkt $S(-8|4|1)$. Durch Spiegelung von $P$ an $S$ erhalten wir schließlich den gespiegelten Punkt $P'(-13|5|0)$.
  3. Punkt an Ebene
    Wir spiegeln den Punkt $P(7|-3|5)$ an der Ebene
    $E:6x_1-4x_2+3x_3-8=0$
    Dazu wird eine Hilfsgerade $g$ aufgestellt, die zu $E$ orthogonal ist und $P$ enthält. Diese hat den Normalenvektor von $E$ als Richtungsvektor, und den Ortsvektor von $P$ als Stützvektor:
    $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r} 7\\ -3\\ 5\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r} 6\\ -4\\ 3\end{array}\right)$
    Als Schnittpunkt von $E$ und $g$ erhält man $S(1|1|2)$, und die Spiegelung von $P$ an $S$ ergibt den gespiegelten Punkt $P'(-5|5|-1)$.