Stammfunktion

Gibt es zu einer Funktion $f$ eine Funktion $F$ mit $F'(x)=f(x)$, dann nennt man $F$ eine Stammfunktion oder unbestimmtes Integral von $f$. Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f$ ist, dann ist für jede beliebige Zahl $c$ auch $F(x)+c$ eine Stammfunktion. Deshalb hat eine Funktion unendlich viele Stammfunktionen, die sich alle jedoch nur durch $c$ unterscheiden.

Regeln zur Berechnung der Stammfunktion

$f(x)$$F(x)$
Konstante Funktion$a$$ax+c$
Potenzfunktion$x^k\, (k\ne -1)$
$x^{-1}=\frac{1}{x}$
$ \frac{1}{k+1}\cdot x^{k+1}+c$
$\ln{|x|}+c$
Exponentialfunktion$e^{x}$$e^{x}+c$
Sinusfunktion$\sin x$$-\cos x +c $
Cosinusfunktion$\cos x$ $\sin x +c $
Faktorregel$k\cdot g(x)$$k\cdot G(x)+c$
Summenregel$g(x)+h(x)$$G(x)+H(x) +c$
Lineare Substitution$g(ax+b)$$\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)+c$

Beispiele

  1. $f(x)=3x^2+8x+1$
    $F(x)=3\cdot \frac{1}{3}x^3+8\cdot \frac{1}{2}x^2+x=x^3+4x^2+x$
  2. $f(x)=\frac{4}{5x^3}$
    Wir schreiben um zu $f(x)=\frac 45 x^{-3}$, das ergibt
    $F(x)=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{-2}x^{-2}=-\frac{2}{5x^2}$
  3. $f(x)=3\sqrt{x}$
    Die Wurzel wird als Potenz geschrieben, $f(x)=3x^{\frac{1}{2}}$ ergibt
    $F(x)=3\cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{x^3}$
  4. $f(x)=4\sin(2x)$
    Es gilt $f(x)=g(ax+b)$
    mit $g(x)=4\sin(x)$ und $ax+b=2x$.
    Mit $G(x)=-4\cos (x)$ folgt
    $F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{2}\cdot(-4\cos(2x))=-2\cos(2x)$
  5. $f(x)=28(4x+3)^6$
    Es gilt $f(x)=g(ax+b)$
    mit $g(x)=28x^6$ und $ax+b=4x+3$.
    Mit $G(x)=28\cdot \frac{1}{7}x^7=4x^7$ folgt
    $F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{4}\cdot 4(4x+3)^7=(4x+3)^7$
  6. $f(x)=\frac{5}{3(2x-1)^2}$
    Wir schreiben zunächst als Potenz: $f(x)=\frac53 (2x-1)^{-2}$
    Hier gilt $f(x)=g(ax+b)$
    mit $g(x)=\frac{5}{3}x^{-2}$ und $ax+b=2x-1$.
    Mit $G(x)=\frac{5}{3}\cdot \frac{1}{-1}x^{-1}=-\frac{5}{3x}$ folgt
    $F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{5}{3(2x-1)})=-\frac{5}{6(2x-1)}$
  7. $f(x)=\frac{2}{7x}$
    Wir schreiben um zu $f(x)=\frac{2}{7}\cdot \frac{1}{x}$, das ergibt
    $F(x)=\frac{2}{7}\ln|x|$
  8. $f(x)=\frac{10}{5x+1}$
    Umschreiben ergibt $f(x)=10(5x+1)^{-1}$.
    Dabei gilt $f(x)=g(ax+b)$
    mit $g(x)=10x^{-1}$ und $ax+b=5x+1$.
    Mit $G(x)=10\ln|x|$ erhält man
    $F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{5}\cdot 10\ln|5x+1|=2\ln|5x+1|$.
  9. $f(x)=8 e^{4x-1}$
    Es gilt $f(x)=g(ax+b)$
    mit $g(x)=8e^x$ und $ax+b=4x-1$.
    Aus $G(x)=8e^x$ folgt für die Stammfunktion
    $F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{4}\cdot 8e^x=2e^x$
  10. $f(x)=e^{\frac{2x}{3}}$
    Hier gilt $f(x)=g(ax+b)$
    mit $g(x)=e^x$ und $ax+b=\frac{2}{3}x$.
    Mit $G(x)=e^x$ erhalten wir
    $F(x)=\frac{1}{a}\cdot G(ax+b)=\frac{1}{\frac{2}{3}}\cdot e^{\frac{2x}{3}}=\frac{3}{2}e^{\frac{2x}{3}}$