Symmetrie

Symmetrie zur y-Achse

Eine Funktion ist symmetrisch zur $y$-Achse, wenn sie folgende Bedingung erfüllt:

$f(-x)=f(x)$
  • Ganzrationale Funktionen, in denen nur gerade Hochzahlen vorkommen (dazu gehört auch eine Konstante ohne $x$) sind achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Gebrochenrationale Funktionen, in denen entweder nur gerade, oder nur ungerade Hochzahlen vorkommen sind ebenfalls achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
  • Die Cosinusfunktion ist zur $y$-Achse symmetrisch, es gilt $\cos(-x)=\cos(x)$.

Symmetrie zum Ursprung

Eine Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, wenn sie folgende Bedingung erfüllt:

$f(-x)=-f(x)$

  • Ganzrationale Funktionen in denen nur ungerade Hochzahlen vorkommen, sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • Gebrochenrationale Funktionen, die im Zähler nur gerade Hochzahlen haben und im Nenner nur ungerade (oder umgekehrt), sind auch immer punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • Die Sinusfunktion ist zum Ursprung symmetrisch, es gilt $\sin(-x)=-\sin(x)$.

Beispiele

  1. $f(x)=-3x^4-2x^2+\frac{5}{2}$ ist achsensymmetrisch:
    $\begin{align} f(-x) & =-3(-x)^4-2(-x)^2+\frac{5}{2} \\ & = -3x^4-2x^2+\frac{5}{2}\\ & = f(x) \end{align}$
  2. $f(x)=\frac{-x}{x^3+2x}$ ist achsensymmetrisch:
    $\begin{align} f(-x) & =\frac{-(-x)}{(-x)^3+2(-x)} \\ & =\frac{-(-x)}{-x^3-2x}\\ & =\frac{-(-x)}{-(x^3+2x)}\\ & =\frac{-x}{x^3+2x}\\ & =f(x) \end{align}$
  3. $f(x)=-\frac{1}{2}x^3+5x$ ist punktsymmetrisch:
    $\begin{align} f(-x) & =-\frac{1}{2}(-x)^3+5(-x) \\ & =\frac{1}{2}x^3-5x\\ & =-(-\frac{1}{2}x^3+5x) \\ & =-f(x) \end{align}$
  4. $f(x)=\frac{1+x^2}{4x}$ ist punktsymmetrisch:
    $\begin{align} f(-x) & =\frac{1+(-x)^2}{4(-x)} \\ & =\frac{1+x^2}{-4x}\\ & =-\frac{1+x^2}{4x}\\ & =-f(x) \end{align}$