Tangenten

Eine Tangente an eine Funktion $f$ ist eine Gerade $t$, welche $f$ in einem Punkt $B(u|f(u))$ auf $f$ berührt. Ihre Geradengleichung $y=mx+b$ erhält man mit der Tangentenformel:

$t : y=f'(u)( x−u)+f(u)$

Dabei steht $u$ für die Stelle auf der $x$-Achse, an welcher die Tangente an $f$ angelegt werden soll.

Bestimmung der Tangente durch den Berührpunkt

Man berechnet $f'(u)$ und $f(u)$ mit dem gegebenen Wert für $u$. Die Geradengleichung der Tangente ergibt sich dann durch Einsetzen von $u$, $f'(u)$ und $f(u)$ in die Tangentenformel.

Bestimmung von Tangenten durch einen anderen Punkt

Die Punktkoordinaten $x$ und $y$ werden in die Tangentenformel eingesetzt. Für $f(u)$ und $f'(u)$ schreibt man hier die gegebene Funktion und ihre Ableitung mit $u$ statt $x$. Die Lösungen dieser Gleichung für $u$ ergeben die Berührpunkte. Durch diese können dann mit der Tangentenformel wieder die Tangentengleichungen bestimmt werden.

Bestimmung der Tangente durch die Steigung

Mit der Steigung $m$ bestimmt man die Lösungen der Gleichung $f '( x)=m$. Diese ergeben die Berührpunkte, und mit der Tangentenformel die Tangentengleichungen.

Beispiele

  1. Bestimmung der Tangente an $f(x)=x^2 +1$ im Berührpunkt $B(2|f(2))$.
    Mit $f'(x)=2x$ und $u=2$ folgt mit der Tangentenformel:
    $\begin{align} y & = f'(2)(x-2)+f(2)\\ & = 4(x-2)+5\\ & = 4x-3 \end{align}$
  2. Bestimmung aller Tangenten an die Funktion $f(x)=x^2 +1$ durch den Punkt $P(1|1)$.
    Mit $f'(x)=2x$ und der Tangentenformel ergibt sich
    $1=2u(1-u)+u^2+1$
    Diese Gleichung hat die Lösungen $u_1=0$ und $u_2=2$, was die Berührpunkte $B_1(0|1)$ und $B_2(2|5)$ ergibt. Die Tangenten in $B_1$ und $B_2$ haben dann die Gleichungen $y=1$ und $y=4x-3$.
  3. Bestimmung der Tangenten mit der Steigung $m = -6$ an die Funktion $f(x)=x^2 +1$.
    Die Gleichung $f'(x)=-6$ hat die Lösung $x=-3$, daraus folgt der Berührpunkt $B(-3|10)$ und die Tangente mit der Gleichung $y=-6x-8$.