Verkettung

Ersetzt man in einer Funktion $f(x)$ die Variable $x$ durch eine andere Funktion $g(x)$, entsteht als Ergebnis dieser Verkettung eine neue Funktion $f(g(x))$. Dabei nennt man $f$ die Äußere Funktion und $g$ die Innere Funktion der Verkettung.

Man geht bei der Verkettung am besten so vor, dass beim Einsetzen der Inneren Funktion um diese immer eine Klammer geschrieben werden. Im nächsten Schritt können diese Klammern dann evt. aufgelöst und vereinfacht werden.

Beispiele

  1. Für $f(x)=5+e^{-2x}$ und $g(x)=3x+1$ gilt:
    $f(g(x))=5+e^{-2(3x+1)}=5+e^{-6x-2}$
    $g(f(x))=3(5+e^{-2x})+1=16+3e^{-2x}$
  2. Für $f(x)=2x^2+7x$ und $g(x)=4x+\sin(\pi x)$ gilt:
    $f(g(x))=2(4x+\sin(\pi x))^2+7(4x+\sin(\pi x))$
    $g(f(x))=4(2x^2+7x)+\sin(\pi (2x^2+7x))$
  3. Für $h(x)= 5e^{-4x}$ gilt mit $f(x)=5e^x$ als Äußerer Funktion und $g(x)=-4x$ als Innerer Funktion:
    $h(x)=f(g(x))$
  4. $h(x)=2(x^2-1)^3$ kann als Verkettung geschrieben werden. Mit $f(x)=2x^3$ und $g(x)=x^2-1$ gilt:
    $h(x)=f(g(x))$