Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$ ordnet jedem Ergebnis $e_i$ eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl $P(e_i)$ als Wahrscheinlichkeit zu, und hat folgende Eigenschaften:

  1. $0\le P(e_i) \le 1$
  2. $P(e_1)+P(e_2)+...+P(e_n)=1$

Es gibt also keine Wahrscheinlichkeiten, die negativ oder größer als 1 bzw. 100 $\% $ sind, und die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ergibt immer 100 $\% $.

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des entsprechenden n-Tupels. Im Baumdiagramm entspricht das der 1. Pfadregel:

1. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm ergibt sich durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten des Pfades.

Wahrscheinlichkeit von Ereignissen

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E=\{e_i,...,e_k\}$ ist als Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in $E$ definiert:

$P(E)=P(e_i)+...+P(e_k)$

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten entspricht das im Baumdiagramm der 2. Pfadregel:

2. Pfadregel:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade des Ereignisses.

Wahrscheinlichkeit von Gegenereignissen

Ist $E$ ein Ereignis, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses $\overline{E}$:

$P(\overline{E})=1-P(E)$

Umgeformt gilt $P(E)=1-P(\overline{E})$. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ kann also auch immer mit dem Gegenereignis $\overline{E}$ berechnet werden, das ist praktisch, wenn $E$ mehr Ergebnisse beinhaltet als $\overline{E}$.

Additionssatz

Für die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen $A$ und $B$ sowie $A\cup B$ und $A\cap B$ gilt der Additionssatz:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $B$, unter der Bedingung, dass das Ereignis $A$ eingetreten ist, bezeichnen wir mit $P_A(B)$. Sie wird folgendermaßen berechnet:

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Unabhängigkeit von Ereignissen

Man nennt zwei Ereignisse $A$ und $B$ unabhängig, wenn gilt:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Bei der Untersuchung zweier Ereignisse auf Unabhängigkeit berechnet man zunächst alle drei Wahrscheinlichkeiten separat und überprüft damit dann die obige Gleichung auf Gültigkeit.

Beispiele

  1. Das zufällige Würfeln hat die Ergebnismenge
    $S=\{1,2,3,4,5,6\}$
    Jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$.
    Das Ereignis $E$: "die Zahl ist größer als 4" hat die Wahrscheinlichkeit
    $P(E)=P(5)+P(6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$.
  2. Bei einem Glücksrad erhält man die Farbe Blau mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{5}$ und Rot mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{3}{5}$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E$, dass bei zweimaligem Drehen mindestens einmal die Farbe Blau erscheint.
    Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge
    $S=\{(b;b),(b;r),(r;b),(r;r)\}$.
    Für das Ereignis $E$ gilt
    $\begin{align} P(E) & = P(\{(b;b),(b;r),(r;b)\})\\ & = \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}+\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}\\ & = \frac{16}{25} \end{align}$
    Alternativ kann die Wahrscheinlichkeit auch mit dem Gegenereignis von $E$ berechnet werden:
    $\begin{align} P(E) & = 1-P(\overline{E})\\ & = 1-P(\{(r;r)\})\\ & = 1-\frac{3}{5}\\ & = \frac{16}{25} \end{align}$
  3. Aus einem Behälter mit drei weißen und sieben schwarzen Kugeln werden drei Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E$, dass dabei zwei weiße und eine schwarze Kugel gezogen werden:
    $\begin{align} P(A) = & P(\{(w;w;s),(w;s;w),(s;w;w)\})\\ = & \frac{3}{10}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{7}{10}+\frac{3}{10}\cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{3}{10}\\ & + \frac{7}{10}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{3}{10}\\ = & \frac{189}{1000} \end{align}$
  4. Aus einem Behälter mit drei weißen und sieben schwarzen Kugeln werden gleichzeitig mit einem Griff drei Kugeln entnommen. Das entspricht einer Ziehung ohne Zurücklegen, wobei sich die Wahrscheinlichkeiten nach jeder Ziehung ändern. Wir berechnen wieder die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E$, dass zwei weiße und eine schwarze Kugel gezogen werden:
    $\begin{align} P(A) = & P(\{(w;w;s),(w;s;w),(s;w;w)\})\\ = & \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{7}{8}+\frac{3}{10}\cdot \frac{7}{9}\cdot \frac{2}{8}\\ & +\frac{7}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8}\\ = & \frac{7}{40} \end{align}$
  5. In einer Urne befinden sich weiße und andersfarbige Kugeln. Man zieht nacheinander zwei Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug eine weiße Kugel zu erhalten ist 60%. Die Wahrscheinlichkeit, im ersten und im zweiten Zug eine weiße Kugel zu erhalten ist 30%, und die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu erhalten ist 90%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel weiß ist?
    Mit den Ereignissen A: "die erste Kugel ist weiß" und B: "die zweite Kugel ist weiß" folgt aus dem Additionssatz:
    $0,9=P(A)+0,6-0,3 \Rightarrow P(A)=0,6$
  6. Aus einer Urne mit 2 roten und 3 weißen Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot war, wenn die zweite gezogene Kugel weiß ist?
    Für die Ereignisse A: "Die zweite Kugel ist weiß" und B: "Die erste Kugel ist rot" gilt:
    $P(A)=P(\{(r;w),(w;w)\})=\frac 25\cdot \frac 34+\frac 35\cdot \frac 24 =\frac 35$
    $P(A\cap B)=P(\{(r;w)\})=\frac 25\cdot \frac 34 =\frac {3}{10}$
    Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeite folgt:
    $P_A(B)=\frac{\frac {3}{10}}{\frac 35}=\frac 12$
  7. In einem Behälter ist eine blaue und eine weiße Kugel und es werden beide Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
    Wir untersuchen die folgenden Ereignisse auf Unabhängigkeit:
    $A$: "Die erste Kugel ist blau"
    $B$: "Die zweite Kugel ist blau"
    Es gilt $P(A)=\frac 12$, $P(B)=P(\{(w;b)\})=\frac 12\cdot 1=\frac 12$ und $P(A\cap B)=P(\{(b;b)\})=\frac 12\cdot 0=0$.
    Damit folgt $P(A)\cdot P(B)\ne P(A\cap B)$, die Ereignisse sind also nicht unabhängig.