Winkel

Mithilfe dem Betrag und Skalarprodukt von Vektoren lassen sich alle Arten von Winkeln zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen berechnen.

Vektor - Vektor

Für den Winkel $\alpha$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:

$\cos\alpha=\frac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$

Gerade - Gerade

Für den Winkel $\alpha$ zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren $\vec{r_1}$ und $\vec{r_2}$ gilt:

$\cos\alpha=\frac{|\vec{r_1}\bullet\vec{r_2}|}{|\vec{r_1}|\cdot |\vec{r_2}|}$

Ebene - Ebene

Für den Winkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ gilt:

$\cos\alpha=\frac{|\vec{n_1}\bullet\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot |\vec{n_2}|}$

Gerade - Ebene

Für den Winkel $\alpha$ zwischen einer Gerade mit dem Richtungsvektor $\vec{r}$ und einer Ebene mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ gilt:

$\sin\alpha=\frac{|\vec{r}\bullet\vec{n}|}{|\vec{r}|\cdot |\vec{n}|} $

Beispiele

  1. Vektor - Vektor
    Durch die Punkte $A(2|0|3)$, $B(-1|2|4)$, $C(3|0|-1)$ ist ein Dreieck gegeben. Gesucht ist der Innenwinkel $\gamma$ beim Punkt $C$.
    Dazu berechnen wir den Winkel zwischen den Vektoren
    $\vec{CA}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ und $\vec{CB}=\left(\begin{array}{r} -4\\ 2\\ 5\end{array}\right)$
    Wir erhalten für $\gamma$
    $\cos \gamma=\frac{(-1)\cdot(-4)+0\cdot 2+4\cdot 5}{\sqrt{(-1)^2+0^2+4^2}\cdot\sqrt{(-4)^2+2^2+5^2}} =\frac{24}{\sqrt{765}}$
    $\Rightarrow\gamma=\arccos{\frac{24}{\sqrt{765}}}\approx 29,81°$.
  2. Gerade - Gerade
    Wir bestimmen den Winkel $\alpha$ zwischen den Geraden
    $\vec{x}=\left(\begin{array}{r} 6\\ 6\\ 5\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -3\end{array}\right)$ und $\vec{x}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 6\\ 0\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 5\end{array}\right)$
    Daraus ergibt sich für $\alpha$
    $\cos \alpha =\frac{|2\cdot4+1\cdot 0+(-3)\cdot 5|}{\sqrt{2^2+1+(-3)^2}\cdot \sqrt{4^2+0+5^2}} =\frac{7}{\sqrt{574}}$
    $\Rightarrow \alpha=\arccos{\frac{7}{\sqrt{574}}}\approx 73,0°$.
  3. Ebene - Ebene
    Gesucht ist der Winkel $\alpha$ zwischen den Ebenen $E_1$ und $E_2$ mit den Gleichungen
    $E_1: 2x_1-x_3+7=0$
    $E_2: 4x_2+2x_3-1=0$
    Für $\alpha$ ergibt sich
    $\cos\alpha =\frac{|2\cdot0+0\cdot4-1\cdot2|}{\sqrt{2^2+0+(-1)^2}\cdot\sqrt{0+4^2+2^2}} =\frac{2}{10}$
    $\Rightarrow \alpha=\arccos{\frac{2}{10}}\approx 78,5°$.
  4. Gerade - Ebene
    $E: 2x_1-3x_3+1=0$
    $g: \vec{x}= \left(\begin{array}{r} 2\\ -5\\ 1\end{array}\right) +t\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ 1\end{array}\right)$
    Mit der Winkelformel folgt für $\alpha$:
    $\sin\alpha =\frac{|2\cdot(-3)+0\cdot 1+(-3)\cdot 1|}{\sqrt{2^2+0+(-3)^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+1^2+1^2}} =\frac{9}{\sqrt{143}}$
    $\Rightarrow \alpha=\arcsin{\frac{9}{\sqrt{143}}}\approx 48,8°$