Zufallsexperimente

Ergebnisse

Ein Zufallsexperiment ist festgelegt durch die Ergebnisse, die dabei auftreten können.

Die Ergebnismenge $S$ eines Zufallexperiments mit den Ergebnissen $e_1, e_2,..., e_n$ ist die Menge aller Ergebnisse:
$S=\{e_1,e_2,...,e_n\}$.

Ein zweistufiges Zufallsexperiment besteht aus zwei nacheinander durchgeführten Zufallsexperimenten.

Die Ergebnismenge eines zweistufigen Zufallsexperiments besteht aus allen Paaren (2-Tupel) von Ergebnissen der Einzelexperimente.

An erster Stelle eines Paares steht dann ein Ergebnis des ersten Zufallsexperiments und an zweiter Stelle ein Ergebnis des zweiten.
Entsprechend hat ein $n$-stufiges Zufallsexperiment als Ergebnisse $n$-Tupel aus Ergebnissen von $n$ Einzelexperimenten.

Als anschauliche Darstellung der Ergebnismenge eines mehrstufigen Zufallsexperiments kann ein Baumdiagramm verwendet werden.

Bei einem Baumdiagramm zu einem $n$-stufigen Zufallsexperiment entspricht jeder Pfad einem $n$-Tupel der Ergebnismenge.

Ereignisse

Unter einem Ereignis $E$ versteht man eine Zusammenfassung von Ergebnissen, also eine Teilmenge der Ergebnismenge.

Man sagt bei der Durchführung eines Zufallsexperiments, dass $E$ eingetreten ist, wenn das dabei eingetretene Ergebnis in $E$ enthalten ist.
Aus einem oder mehreren Ereignisse können wie folgt weitere Ereignisse definiert werden:

  • Das Gegenereignis eines Ereignisses $E$ besteht aus allen Ergebnissen von $S$, die nicht in $E$ enthalten sind und wird mit $\overline{E}$ bezeichnet. Es tritt genau dann ein, wenn $E$ nicht eintritt.
  • Sind $A$ und $B$ zwei Ereignisse, dann besteht das Ereigniss "$A$ oder $B$" aus allen Ergebnissen, die in $A$ oder $B$ enthalten sind und wird mit $A\cup B$ bezeichnet. Es tritt genau dann ein, wenn $A$ oder $B$ eintritt.
  • Sind $A$ und $B$ zwei Ereignisse, dann besteht das Ereigniss "$A$ und $B$" aus allen Ergebnissen, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind und wird mit $A\cap B$ bezeichnet. Es tritt genau dann ein, wenn $A$ und $B$ eintritt.

Beispiele

  1. Das einmalige Würfeln ist ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge $S=\{1,2,3,4,5,6\}$. Wir definieren folgende Ereignisse:
    $A$: "die geworfene Zahl ist größer als 4"
    $B$: "die geworfene Zahl ist gerade"
    Wir bestimmen die Mengendarstellungen von $A$, $B$, $\overline{A}$, $A\cup B$ und $A\cap B$:
    $A=\{5,6\}$
    $B=\{2,4,6\}$
    $\overline{A}=\{1,2,3,4\}$
    $A\cup B=\{2,4,5,6\}$
    $A\cap B=\{6\}$
  2. Eine Münze wird dreimal geworfen, es wird also dreimal das Zufallsexperiment mit den Ergebnissen Kopf ($k$) oder Zahl ($z$) durchgeführt. Die Ergebnismenge des dreistufigen Zufallsexperiments enthält somit alle möglichen 3-Tupel:
    $S=\{(k;k;k)$, $(k;k;z)$, $(k;z;k)$, $(k;z;z)$, $(z;k;k)$, $(z;k;z)$, $(z;z;k)$, $(z;z;z)\}$
  3. Aus einem Behälter mit einer schwarzen und drei weißen Kugeln werden nacheinander zufällig zwei Kugeln entnommen und wieder zurückgelegt. Für das Ziehen mit Zurücklegen ergibt sich die Ergebnismenge
    $S=\{(w;w),(w;s),(s;w),(s;s)\}$
  4. Aus dem selben Behälter werden nun nacheinander zufällig zwei Kugeln entnommen und nicht zurückgelegt, für die Ergebnismenge gilt dann
    $S=\{(w;w),(w;s),(s;w)\}$
  5. Das gleichzeitige Ziehen bzw. Ziehen mit einem Griff entspricht aufeinanderfolgenden Ziehungen ohne Zurücklegen, da ja dieselbe Kugel dabei nicht zweimal gezogen werden kann. Entnimmt man obigem Behälter also gleichzeitig zwei Kugeln, so gilt für die Ergebnismenge
    $S=\{(w;w),(w;s),(s;w)\}$.