Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ist die Zuordnung eines Zahlenwerts zu jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments.

Zufallsvariablen werden üblicherweise mit Großbuchstaben wie z.B. $X$ bezeichnet.
Unter der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen $X$ versteht man die Angabe der Wahrscheinlichkeit für alle Zahlenwerte, die $X$ annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable $X$ den Zahlenwert $k$ annimmt wird mit $P(X=k)$ bezeichnet.
Zu jeder Zufallsvariablen kann der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung berechnet werden. Das sind Zahlen, die als Kenngrößen bestimmte Eigenschaften einer Zufallsvariable beschreiben.

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen $X$ mit den Werten $x_1,x_2,...,x_n$ ist der durchschnittlich zu erwartende Wert von $X$, wenn das Zufallsexperiment oft durchgeführt wird. Er wird mit $E(X)$ bezeichnet und wie folgt berechnet:

$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+...+x_n\cdot P(X=x_n)$

Varianz

Die Varianz einer Zufallsvariablen $X$ mit den Werten $x_1,x_2,...,x_n$ ist die durchschnittliche quadratische Abweichung der Werte vom Erwartungswert. Sie ist ein Maß dafür wie stark die Ergebnisse variieren und wird mit $V(X)$ bezeichnet und wie folgt berechnet:

$V(X)=(x_1-E(X))^2\cdot P(X=x_1)+...+(x_n-E(X))^2\cdot P(X=x_n)$

Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen wird direkt aus der Varianz berechnet und ist deshalb auch eine Kenngröße für die Abweichung oder Streuung der Zufallswerte vom Erwartungswert.

$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\Leftrightarrow \sigma(X)^2=V(X)$

Beispiele

  1. Ein Behälter enthält zwei Kugeln mit der Zahl 2 als Aufschrift, und drei Kugeln mit der Zahl 5. Es werden gleichzeitig zwei Kugeln mit einem Griff entnommen. Das Ziehen mit einem Griff entspricht wie immer einer Ziehung ohne Zurücklegen, wobei sich also nach der ersten Ziehung die Wahrscheinlichkeiten ändern. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufal lsvariable $X$, die als Produkt der beiden Zahlen definiert sein soll. $X$ kann die Werte 4, 10 und 25 annehmen, für die Wahrscheinlichkeiten gilt:
    $P(X=4)=P(\{(2;2)\})=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$
    $P(X=10)=P(\{(2;5),(5,2)\})=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{6}{10}$
    $P(X=25)=P(\{(5;5)\})=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$
  2. Drei Asse und drei Könige liegen verdeckt auf dem Tisch. Es wird solange eine Karte aufgedeckt, bis ein Ass erscheint. Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl $X$ der aufgedeckten Karten und die Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 3)$.
    $P(X=1)=P(\{(A)\})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
    $P(X=2)=P(\{(K;A)\})=\frac{3}{6}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{10}$
    $P(X=3)=P(\{(K;K;A)\})=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{20}$
    $P(X=4)=P(\{(K;K;K;A)\})=\frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{3}=\frac{1}{20}$
    Für die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 3 Karten aufgedeckt werden, gilt somit:
    $P(X\ge 3)=\frac{3}{20}+\frac{1}{20}=\frac{1}{5}$
  3. Gegeben ist eine Zufallsvariable $X$ mit den Werten 2, 3, 5, 7 und folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung:
    $P(X=2)=0,1$
    $P(X=3)=0,2$
    $P(X=5)=0,3$
    $P(X=7)=0,4$.
    Wir berechnen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von $X$:
    $E(X)=2\cdot 0,1+3\cdot 0,2+5\cdot 0,3+7\cdot 0,4=5,1$.
    $V(X)=(2-5,1)^2\cdot0,1+(3-5,1)^2\cdot 0,2+(5-5,1)^2\cdot 0,3+(7-5,1)^2\cdot 0,4=3,29$
    $\sigma(X)=\sqrt{3,29}\approx 1,8138$